阿基米德的頭腦較之荷馬有更豐富的想像力。
——伏爾泰
伊薩克·牛頓有句著名而又謙遜的格言：“我所以比別人看得更遠，是因為我站在巨人的肩膀上。”當時，他心中確實銘記著古代最偉大的一位數學家，希臘敘拉古城的阿基米德。然而，阿基米德還是一位力學天才，在他眾多的機械發明中，有水車，又稱作阿基米德螺旋泵，是一種用於抽水進行灌溉的螺旋狀泵。雖然人們對於阿基米德的生平以及他對自己的功績的評價知之甚少，但多數評論家猜測，他對於自己在理論數學上的發現比實用發明更重視。例如，一個叫普盧塔克的寫道：“而阿基米德具有這樣一種崇高的精神，這樣一種深奧的魂靈和這樣一種科學理論的財富，雖然他的許許多多的發明為他贏得了聲譽，並使他以'超人的精明'而聞名，但他並不願為這些課題著書立說，流傳後世，而把一個工程師的工作和有助於生活需求的每一件藝術品都視為卑賤和和庸俗。他只潛心於研究那些不受生活品需求影響的精妙而有魅力的學科。”其他評論家則進一步認為，甚至當他從事槓桿、滑輪或其他機械研究時，他也是為了探索力學的普遍原理，而不是為了實際應用。
實際上，阿基米德對於理論的偏重勝於實際到什麼程度可能永遠不得而知。但有一點是清楚的：在他的作品中，理論和應用之間的關係是緊張的，而這種緊張的關係一直持續滲透到以後22個世紀的數學之中。
本書主要概述了數學所涉及的領域和範疇。我並不認為這本書包羅萬象，然而它選擇的主題很離奇，但它也只能如此。數學是世間每所大學都從事研究的一門學科，它至少像生物學一樣有廣泛的領域，在生物界中，某個研究人員正努力研究艾滋病毒，而另一個研究人員則在研究袋熊的社會化問題。
我對數學的探討猶如我在研究中國萊譜，到處品嚐，識別常見的配料和特殊的風味。在僅僅用過一次中餐之後，你很難成為一名中餐美食家，但比起從未吃過中餐的人卻又知之較多。數學亦如此。研究幾個數學課題，是不可能掌握數學中一切重要的內容的，但比起那些一竅不通的人來，你對這些課題的感受卻又深得多。
目前已出版了許多論及數學方面的哲學基礎的書籍，從某種程度上講這是必然性的科學，因為它的結論在邏輯上是無懈可擊的。還有許多作品卻狂熱地詳述數學無窮大的性質和高維度的美。這種帶有哲學式的、富有詩意的離題的論述卻有它的市場，但卻遠沒有涉及大多數數學家們所關切的問題。我在本書中主要描述的是那些數學工作者在實際中所遇到的地地道道的實用的問題。
我還想批駁一個錯誤觀點：僅僅肯花力氣進行足夠的運算，就可得到數學的任何結果，換句話說，如果你想解一道數學題，只需做足夠量的運算就行了。即使你我缺乏解數學難題的能力，但我們也懷疑內行人士——這些理解數學符號的人——是否都能夠對他們選擇的任何一個問題經過潛心研究後找到答案。畢竟，我們的知識使我們相信數學是屬於演繹推理，推斷一個數學結果要像推論“所有人都必定要死的”和“蘇格拉底是人”，因此“蘇格拉底必定要死的”一樣簡單就好了！
我寫作本書的目的之一是要說明一種數學知識的局限性。在我們所考查的每個數學領域中，我要指出什麼是已知的和什麼是未知的。有時我們的知識是有局限的，因為某些領域剛剛開發，還沒有多少數學家投身於對它的研究。知之甚少是這一問題的主要困難。此外，數學家的知識的局限性也是比較重要的因素。它表明，這些問題要從數學方面獲得快速解簡直是不可能的。
數字中充滿了新奇。數字和形狀是人文料學中最早關心的課題，但有關的許多問題仍然令人費解。比一個素數的概念更簡單的能是什麼——一個大於1的整數，像3，5，17，或31等不能被1和本身之外的其他整數整除的數？早在古希臘人的時代就知道素數是無窮盡的，但是沒有一個人知道孿生素數——成對的素數，如3和5，相差2，它們是否也是無窮盡的。沒有人知道是否存在無限多的完全數，像6一樣等於它所有因子（當然除去它本身外，即3，2和1）之和的整數。而且沒有人知道一個完全數是否是奇數。匈牙利偉大的數論家保羅·厄爾多斯是一個證明素數基本定理的大師——他在18歲的時候，就提出了著名的論證：在每個大於1的整數和它的倍數之間一定有一個素數——他認為，數學家們還遠遠沒有理解整數，更何況其他類型的數。他說：“至少還得再過100萬年，我們才可能理解素數。”
在數學上，對形狀的理解也遠遠不夠。在二維方面，關於什麼形狀可以在一定條件下用磚瓦貼蓋表面的問題還有許多疑難未解之處。在三維的磚瓦貼面模擬中，形狀的填充要盡可能使給定的空間密集，這對於許多基本形狀來說仍懸而未決。但是，缺乏理論知識未必總是實用主義者的攔路虎，設計師羅納德·雷施製造出三層半的複活節彩蛋就是明證。
由於有關數字和形狀的基本問題仍未解決，因此對計算機——一種複雜的數字工具——能做什麼和不能做什麼常常眾說紛紜，並出現一些混亂狀態，這不足為怪。我盡量避開那些關於人和機器的本質的含糊不清的形而上學問題，便於向人們展示人們所不了解的關於計算的理論局限性方面的問題。我要講述圖靈通用計算機的驚人之處——分成若干單元的一條紙。我要考查一種可能出現的局限性：計算機科學家認為，他們將能夠證明某些僅僅在探索階段的計算問題——包括旅行推銷員在一連串的城市之間要選擇的最短路線的問題——從來沒有被計算機（或數學家）有效地解決。從理論轉移到實踐，我特意檢驗了漢斯·伯林納和丹尼·希爾設計的對弈機和通用計算機，使“三個臭皮匠，頂過諸葛亮”的構想走向極端。要知道這些努力的整個結局如何還為時過早，但這兩種機器的性能在某些領域，已經超過了傳統計算機。
從根本上說，旅行推銷員問題無疑是數學問題，可是實際上已證明，用傳統的數學方法解答它是無效的。在這本書裡，我將介紹一種出現在設計選舉系統或分配代表的問題中的類似的解決辦法。從絕對意義上說，數學對這些問題是毫無幫助的。的確，數學證明了，它對開創一個完善的民主選舉制在理論上無益，儘管缺乏完善的民主體制，但數學為公正的選舉制和國會的公正分配方法指出了道路。
傳說阿基米德是在一時的憤怒之中設計出一個關於牧牛的極其困難的數字問題。他的報復一直持續了22個世紀，直到1981年，使用剛誕生的一台巨型計算機才徹底解決了這一問題。牧牛的問題多少有些編造的味道。但是，面對阿基米德的報復，一代代數學家所感受到的挫折常常類似於那些比較自然地出現的較簡單的數學問題所造成的報復。這種數學本身造成的報復看來還沒有跡象會消退。
一個令人驚奇的宗教學生，
解出了無窮大的平方根，
這使他對計數煩躁不寧，
他終於放棄了數學又繼續學神。
——無名氏