第51章 第五節祖暅之原理與球體積

祖暅之原理，西方稱作卡瓦列利原理，是說等高的兩組立體，若它們等高處的截面積相等，則其體積必相等。祖暅之用很簡潔的語言概括道：“夫迭棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異。”(《九章算術·少廣章註》)中國古代認識這個原理，經歷了漫長的過程。在《九章算術》中，圓柱與方柱、圓錐與方錐、圓亭與方亭都是成對地出現，說明是通過比較兩者的底面積從後者推導前者的體積的，這是祖暅之原理的雛形。劉徽則認識到，不僅要比較兩立體的底面積，而且必須比較任意等高處的截面積。劉徽除了通過這一原理證明了圓錐、圓亭的體積公式外，有兩點值得注意。一是他在證明羨除體積公式時提出“推此上連無成不方，故方錐與陽馬同實。”(《九章算術·商功章註》)成，訓層，就是說，同底等高的方錐與陽馬每一層都是相等的方形，故其體積相等。劉徽進而提出，若一立體每一層都被一平面平分，則其體積被平分。劉徽由此解決了若干不同形狀的鱉臑的體積公式，接近於提出：任意形狀的四面體，其體積為底乘高的1/6。由於鱉臑在多面體理論中的關鍵地位，這一認識是非常重要的。二是他指出了《九章》開立圓術所蘊涵的球體積公式的錯誤，而錯誤的原因在於把球與外切圓柱的體積之比當成π：4。他設計了一種新的立體：用兩相等的圓柱體正交，其公共部分稱為牟合方蓋。劉徽指出，球與外切牟合方蓋的體積之比為π：4。顯然，只要求出牟合方蓋的體積，則球體積便迎刃而解。劉徽未能求出牟合方蓋的體積，表示“以俟能言者”。

劉徽所期待的數學家便是200年後的祖暅之。這一工作很可能是祖暅之與其父的共同創作。祖沖之在《駁議》中說過：“立員舊誤，張衡述而弗改。”可見他研究過球體積問題。祖氏父子在劉徽工作的基礎上，繼續考慮在一個正方體中用外切於球的兩相等圓柱體正交分割出牟合方蓋後的剩餘部分。李淳風等《九章算術註釋》記載祖暅之的方法是：考慮正方體與牟合方蓋的1/8，即小立方棊ABCDEFGO，如圖39(1)。按劉徽的分割方法，牟合方蓋的1/8為AEFGO，稱為內棊，如圖39(2)。立方棊剩餘部分被同時分割成三部分：ADEF、ABGF、ABCDF，稱為外三棊，如圖39(3)、(4)、(5)。考慮高AO上任一點N處的橫截面NIJK，則其面積為球半徑之平方r，它由四部分組成：內棊橫截面NMHL，外三棊橫截面LHQK、MIPH、HPJQ。設內棊橫截面積為b，ON=a，那麼外三棊橫截面積之和應為rb，而由勾股形ONM，rb=a，而a恰恰等於一個長、寬、高均為r的陽馬距頂點為a處的橫截面積，如圖39(6)。由祖暅之原理，外三棊體積之和與上述陽馬體積相等，即(1/3)r，那麼內棊體積為(2/3)r，牟合方蓋的體積為(2/3)D。於是球體積V=1/4π·(2/3)D=(π/6)D，最後圓滿地解決了球體積問題。若取π=3，則球體積為1/2D。祖暅之開立圓術取後者。