第50章 第四節劉徽原理

對《九章》提出的陽馬體積公式V=(1/3)ahb與鱉臑體積公式V=(1/6)ahb，劉徽之前是取a=b=h的情形用棊驗法證明的。然而在a≠b≠h的情形下，一個長方體分割成的三個陽馬並不全等，六個鱉臑也不全等或對稱，三個陽馬的體積是否相等，六個鱉臑的體積是否相等，並不是顯然的，棊驗法無能為力。所以劉徽說：“鱉臑殊形，陽馬異體。然陽馬異體，則不可純合，不純合，則難為之矣。”(《九章·商功章·注》)他另闢蹊徑，用無窮小分割成功地完成了這兩個公式的證明。為此，他首先提出了一個原理： 邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。 即在一個塹堵中，恒有V:V=2:1 吳文俊把它稱為劉徽原理。顯然，只要證明了這個原理，由塹堵體積公式，上述兩公式是不言而喻的。問題歸結為證明劉徽原理。

劉徽用三個互相垂直的平面平分塹堵的長、寬、高，則其中的陽馬分成一個小立方Ⅰ，兩個小塹堵Ⅱ、Ⅲ和兩個小陽馬Ⅳ、Ⅴ，鱉臑分成兩個小塹堵Ⅱ′、Ⅲ′和兩個小鱉臑Ⅳ′、Ⅴ′。它們可以拚合成四個全等的Ⅱ—Ⅱ′、Ⅲ—Ⅲ′、Ⅳ—Ⅳ′、Ⅴ—Ⅴ′和小立方Ⅰ。 (見圖38)顯然，在前三個小立方中，亦即在塹堵的3/4中，屬於陽馬與屬於鱉臑的體積之比為2：1。第四個小立方中兩者體積之比尚未知，但它的兩小塹堵的構成與原塹堵完全相似，且其長、寬、高為原塹堵的一半。對這兩個小塹堵重複上述分割、拚合，即“置餘廣、袤、高之數各半之，則四分之三又可知也。”如此繼續下去，“半之彌少，其餘彌細，至細曰微，微則無形。由是言之，安取餘哉？”從而在整個塹堵中證明了劉徽原理。其中的極限過程是非常明顯的。

劉徽原理及陽馬、鱉臑體積公式的證明是劉徽體積理論的核心。對其他多面體，劉徽都是將它們分解成有限個長方體、塹堵、陽馬、鱉臑，求其體積之和解決之，從而把他的體積理論建立在無窮小分割基礎上。 19世紀數學大師高斯曾提出四面體體積的解決不借助無窮小分割是不是不可能的猜想。這一猜想後來成為希爾伯特《數學問題》第三個問題的基礎，並由希爾伯特的學生德恩作了肯定性解決。實際上，劉徽早在他們之前1600年就開始考慮這個問題。