第24章 第五節重差

重差方法是從測太陽高遠發展起來的。西漢劉安《淮南子》便有這種方法的雛形。劉徽認為《九章》的測望對像都是端旁互見的沒有超邈如太陽之類。他發展完善了重差術，在《九章算術注序》中指出“凡望極高，測絕深而兼知其遠者必用重差、勾股，則必以重差為率”。概括出測日高、遠的公式：在洛陽的平地南北方向上立兩根表，高8尺。同一天中午測量兩表的影子，“以景〔ying，同影〕差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也”。此即：日高=(表高×表間)/景差+表高，表至戴日下=(南表景×表間)/景差。 其中“表間/景差”是兩個差之比，故稱為重差術，如圖24。戴日下即太陽直射大地之點。這兩個公式基於天圓地方、大地為平面的蓋天說，不符合實際，但在數學理論上是正確的。 《海島算經》第一問為測望一海島的高遠，其方法、公式與上述日高術完全相同，即所謂重表法。此島高4裡55步，合今1792.14米(以魏尺23.8厘米入算)，距大陸的測望點102裡150步，合今43911米。

中國沿海無這樣的海島，筆者認為，劉徽是以泰山(1536米)為原型，假託成海島，以成為端旁不可互見的對象。劉徽曾說：圓穹的天都可以測望，“又況泰山之高與江海之廣哉？”事實上，上述數據比歷代史籍關於泰山高度的記載都精確得多，也比清代學者用重差術的測望結果準確得多。 連索法是重差術的另一種主要方法。 《海島》第3問是南望方邑，豎立兩表，與人同高，東西距6丈，以索連之，使東表與城邑的東南角、東北角成一直線。從東表向北走5步，望城邑的西北角，入索東端2丈2尺61/2寸，向北走13步2尺，恰恰與西表、城邑西北角成一直線，問邑方及表到城邑的距離是多少？如圖25。劉徽先求：景差=(入索×後去表)/表矩，則：邑方=入索(後去表-前去表)/(景差-前去表)，邑去表=前去表(後去表-景差)/(景差-前去表)

累矩法是重差術的又一主要方法。第4問是測望一深谷，將矩放在深谷的岸上，矩之勾高6尺，從勾頂端望谷底，入下股9尺1寸，又將此矩向上移3丈，從勾頂望谷底，入矩之股(稱為上股)8尺5寸，問谷深多少？如圖26，劉徽給出公式：谷深=勾矩×上股/股差-勾。 劉徽提出：“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。”(《九章算術注·序》)傳本《海島算經》除上述三個問題要二次測望外，第2、5、6、8四題要三次測望，第7、9二題要四次測望。中國的重差術到劉徽可謂大備，後來秦九韶等在測望方法上有所改進，但從數學理論上說，在明末西方數學傳入之前，沒什麼新的突破。這些測望公式是怎麼證明的，由於劉徽自註及圖已失，不得而知，後人頗多探討。有人認為用相似勾股形對應邊成比例的原理，有人認為用面積出入相補原理，從中國的數學傳統和當時的數學水平看，兩者都是可能的。而劉徽注對複雜的問題，則常常是兩者並用。