第23章 第四節旁要

旁要是先秦“九數”之一，西漢張蒼、耿壽昌補充了解勾股形等內容後改稱勾股，成為《九章》勾股章。根據賈憲、楊輝的提示，上述勾股容方、容圓及八個測望問題是旁要的內容。現在介紹這類測望問題。有一正方形城邑，不知大小，城門都在城牆正中。出北門20步有一株樹。出南門14步拐向正西1775步，恰能看到此樹。問城邑每邊長多少？設城邑邊長x，出北門a，出南門k，折西b，如圖21(1)，考慮兩個相似勾股形，小勾股形股b=1/2x，大勾股形勾a=a+x+k。由於a/b=a/b，或a/1/2x=(a+x+k)/b，故x+(a+k)x=2ab。這是劉徽推導此公式的第一種方法。第二種方法是：如圖21(2)，寬為DF=x，長為BC=x+a+k的長方形DEGF，其面積x(x+a+k)，再考慮寬BC=x+a+k，長為AC=b的長方形BCAI，它被對角線平分，由於勾股形AAJ與AAG相等，故BCJI與BCGF面積相等。 DEGF的面積是BCGF的兩倍，即BCJI的兩倍，BCJI的面積為ab，故x(x+a+k)=2ab。

第二種方法的關鍵是長方形BCJI與BCGF面積相等，它們有公共部分BCAF，則長方形FAJI與CCGA面積相等。這是一個重要原理，後來賈憲、楊輝將其概括為：將一長方形斜解為二勾股形，兩勾股形所容的以公共弦上任一點為公共點的兩長方形的面積相等，見圖22。這一原理在測望問題的出入相補中作用特別大。 《九章》立四表望遠、因木望山及測井徑問題，都可以這樣解決。如因木望山問是：有一樹高9丈5尺，距山53裡，人目高7尺。距樹3里處望山，人目、樹頂、山頂成一直線。問山高多少？如圖23。由上述原理，陰影部分相等，故ab=ab，故a=ab/b。