第22章 第三節勾股容方與容圓

勾股容方與容圓是《九章》勾股章的兩個題目。前者是：已知勾股形勾5步，股12步，問所容正方形邊長多少？ 《九章》的公式是d=ab/(a+b)。後者是：已知勾股形勾8步，股15步，問其中容圓之徑多少？ 《九章》的公式是d=2ab/(a+b+c)。對這兩個問題，劉徽都提出了兩種方法證明之。以容圓為例。將勾股形從圓心分成朱、青、黃各部分，如圖19(1)，將四個這樣的勾股形拚成以d為寬，以a+b+c為長的長方形，如圖19(2)，其面積為2ab，因此d=2ab/(a+b+c)。這是出入相補的方法。另一種方法是過圓心作一中弦平行於弦，中弦與勾、股及垂直於勾、股的半徑形成兩個小勾股形，如圖19(3)。考慮其中一個，比如股上的小勾股形，設三邊為a、b、c，顯然a+b+c=b，而a：b：c=a：b：c，因此可用衰分術：a=ab/(a+b+c)。而d=2a=ab/(a+b+c)。劉徽還提出

勾股容圓在宋元時代成為重要的研究課題。人們考慮了各種容圓問題。元李冶便在洞淵九容基礎上演繹出《測圓海鏡》，除《九章》的容圓外，還有(見圖20)：圓心在勾上且切於股、弦，稱為勾上容圓，其直徑d=2ab/(a+b)，同樣，股上容圓d=2ab/(a+c)，弦上容圓d=2ab/(a+b)；圓心在勾股交點切於弦，叫勾股上容圓，d=2ab/c；切於勾及股、弦的延長線者稱為勾外容圓d=2ab/(b+ca)，同樣，股外容圓d=2ab/(a+cb)，弦外容圓d=2ab/(a+bc)；圓心在股的延長線且切於勾、弦的延長線叫勾外容半圓，d=2ab/(ca)，同樣，股外容半圓d=2ab/(cb)。以上共10種容圓關係，“洞淵九容”指哪9種，清代以來諸說不一。清李善蘭又補充了勾弦上容圓d=2ab/b，股弦上容圓d=2ab/a，弦外容半圓d=2ab/(ba)。這13種容圓直徑的分母恰恰對應於楊輝的勾股生變13名圖的各種關係，分子都是2ab。