《九章》勾股章提出了若干已知勾股形三邊中二者的和差等因素，求其邊長的例題。趙爽、劉徽、賈憲先後作了進一步的發展，提出了一般性的公式及其證明。
國內外流行的印度蓮花問題實際上是《九章》“引葭赴岸”題的改寫。此題是：有一水池，方1丈，一株葭〔jia佳，初生的蘆葦〕生在中央，高出水面1尺，引葭赴岸，恰恰與岸邊相齊。問水深、葭長各多少？如圖15，劉徽指出，水池邊長的一半為勾a，水深為股b，葭長為弦c，葭高於水面者是弦股差cb，這是已知勾與弦股差，求股、弦的問題：
b=［a-(cb)］/［2(cb)］，
c=(cb)+b。
圖15 引葭赴岸
圖16 竹高折地
1989年語文高考試卷有一古文今譯題便採自《九章》勾股章“竹高折地”問：今有一株竹高1丈，被折斷，末梢抵地，抵地處距竹根3尺，問剩餘高多少？如圖16，劉徽指出，抵地處至竹根距離是勾a，剩餘的高是股b，折斷部分是弦c，則竹高就是股弦和c+b，此是已知勾與股弦和，求股的問題：b=［(c+b)-a］/［2(c+b)］。
這兩類題目互相返覆，劉徽以出入相補原理證明之。
有一門戶，高比寬多6尺8寸，兩角相距1丈。問此門戶高、寬各多少？劉徽認為，將戶寬作為勾a，高為股b，兩角相距為弦c，那麼這是一個已知弦c與股勾差ba，求勾、股的問題。 《九章》的解法經劉徽改寫成
劉徽的出入相補證明方法是：以勾股和b+a為邊長作正方形，稱為大方，面積(a+b)；在其內部作一中方，其頂點在大方每邊a、b的分點上，其邊長自然為c，面積c；在中方內部作四個以a、b、c為邊長的勾股形，每一個面積為1/2ab，稱為朱冪。中方除去四個勾股形，餘一個以ba為邊長的正方形，稱為黃方，面積為(ba)，如圖17，大方有八個朱冪，一個黃冪，中方有四個朱冪，一個黃冪，因此，中方減去半個黃冪等於半個大方：1/2(b+a)=c-1/2(ba)，1/4(b+a)=1/2［c-1/2(ba)］，於是
圖17 已知弦與股勾差求勾股的證明
有一門戶不知高、寬，有人持一竹竿，不知長短，橫著出門，長了4尺，豎著出門，長了2尺，斜著恰好能出門。問門的高、寬、斜各多少？劉徽把門戶的高、寬、斜分別作為勾、股、弦，此題是已知弦勾差ca、弦股差cb，求勾、股、弦的問題。 《九章》給出的公式是：
圖18 已知弦勾差弦股差求勾股弦的證明
為了證明這些公式，劉徽首先指出了在弦冪中勾冪與股冪的相互位置，或矩於表，或方於里：若股冪為方形，則勾冪作為勾矩居於股方之表，如圖18(1)；反之亦然，如圖18(2)。劉徽將其中一個圖形旋轉180°，與另一個重合，則成為圖18(3)的情形。勾矩cb與股矩ca的面積之和應為弦冪c。在圖中，這兩者在兩角重合於兩個以cb為寬、ca為長的長方形，其面積為2(ca)(cb)。而弦冪中卻有一個以a+bc為邊長的小黃方未被勾矩與股矩填滿。顯然，小黃方的面積(a+bc)應等於2(ca)(cb)，開方由
a=(a+bc)+(cb)，
b=(a+bc)+(ca)，
c=(a+bc)+(cb)+(ca)
便證明了上述三式。
北宋賈憲把《九章》解勾股形的四個類型的方法抽象成一般性公式。楊輝又進而總結出a、b、c、c±a、c±b、b±a、a+b±c、c±(ba)13種關係及變成ba、cb、a+bc的段數，稱作“勾股生變十三名圖”。這13種關係包括了勾股形中勾、股、弦及其和、差的全部可能的關係，對勾股理論起著提綱挈領的作用。
圖15 引葭赴岸
圖16 竹高折地
圖17 已知弦與股勾差求勾股的證明
圖18 已知弦勾差弦股差求勾股弦的證明
a=(a+bc)+(cb)，
b=(a+bc)+(ca)，
c=(a+bc)+(cb)+(ca)
便證明了上述三式。
北宋賈憲把《九章》解勾股形的四個類型的方法抽象成一般性公式。楊輝又進而總結出a、b、c、c±a、c±b、b±a、a+b±c、c±(ba)13種關係及變成ba、cb、a+bc的段數，稱作“勾股生變十三名圖”。這13種關係包括了勾股形中勾、股、弦及其和、差的全部可能的關係，對勾股理論起著提綱挈領的作用。