原子說——相信事物不可分割——不僅指導著古希臘人研究物質而且指導著他們對數的研究。歐幾里得及其同時代人認識到，某些整數如2，3，5，7及11是根本不能被除盡的。這些只能被它們自身和1整除的數被稱為素數。那些不是素數的數——如4，6，8，9，10等等——有另外的除數。這些數被稱作合成數（非素數），因為它們每個數都各自由某些素數“合成”。例如，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，及10＝2×5。
1985年9月，當休斯敦的謝夫隆地球科學公司對被稱為克雷X－MP型的新式巨型計算機進行使用檢驗時，它在以每秒做4億次運算的速度工作了3個多小時後發現了人（或機器）所知的最大素數。
大約在2300年前，歐幾里得就證明存在無限多的素數。但迄今還沒有人發現素數的模型或產生素數的有效公式。由於沒有模型可參照，發現新的最大已知素數沒有任何竅門，這一發現的新聞不僅迅速地傳遍了數學界而且傳遍了整個世界。美國哥倫比亞廣播公司《晚間新聞》節目的主持人瓦爾特·克倫凱特專門在電視上插播了一個素數的輕鬆故事，而全國公共廣播電台仍然有這樣一個欄目。
謝夫隆計算機求得的創紀錄的素數多達65，050位數。這個有65，050位數的龐大數字是一個梅森數，它等於2的216，091次冪減1，要把這個數全部列出來要佔去本書30頁紙。 “我們只是偶然地運算了足夠的數而得出這一新素數的，”謝夫隆的一位副總裁告訴新聞界說，“讓該機器開動並進行運轉，證明它健全無損是我的職責，其結果是令人感興趣的……但這些結果肯定無助於發現石油。”
尋找更大的素數並探求其性質與尋求奇數完全數一樣都是數論的一部分。數論表面上簡單。其主要定理可以表述得人人都可理解，但證明起來——如果是已知的話——卻需要艱深而復雜的數學運算。例如1742年，生於普魯士的數學家克里斯琴·哥德巴赫猜想每個比2大的偶數都是兩個素數之和。根據這一分析，4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5等等。數理論家借助於計算機將1億以下的所有偶數都分成為兩個素數之和，然而他們卻沒能證明哥德巴赫的簡單猜想是普遍正確的。而這並不是因為缺乏嘗試之故。過去兩個半世紀以來，許多最有才能的數學家都曾思考過這一問題。
在數學的所有分支之中，數論傳統上一直是最遠離物理現實的。數學其他深奧領域的抽象結果似乎已有效地用於物理、化學和經濟之中。而對數論中的多數結果來說卻並非如此。如果哥德巴赫猜想明天得以證明，數學家會欣喜異常，而物理學家和化學家將不知道如何應用這一成果——如果它確有應用價值的話。因此，研究素數被認為是最純的數學，與應用無關的數學。幾個世紀前，數論的這種純性為它贏得了“數學皇后”的美稱。
然而在今天，這座宮殿裡卻出了問題。那最純的論題——素數正在以國家安全的名義濫用自己。據報導我們政府所用的某些最好的密碼是依靠素數創制的。在這些密碼中，字母被轉換成數字，其根據純然是數學的：某些計算程序較易創制但極難破譯。例如，計算機計算兩個100位數的素數的積極其容易。但已知那個200位數的積去恢復那些素數除數卻極其困難（當然，除非有人告訴你）。將這一點應用於密碼使人茫無頭緒。將電文譯成電碼的人必不能破解密碼。將電文譯成電碼，他只需知道200位數的積。但要破譯這段電文他得知道兩個素數除數；而只知道其積是遠遠不夠的。
這種密碼被稱為公鑰密碼，因為它可以用一種很公開的方式來使用。如果我想收到秘密信件，我只需公佈200位數的數字（並對如何用於編密進行解釋）即可。然後，任何人只要他願意就可以給我寄編成密碼的信。因為只有我一人知道那兩個素數除數，因此也只有我才能輕易地破譯那些信件。然而，這種密碼系統起作用的惟一原因是數論學家迄今依然不知如何將巨大的合成數化成構成它們的素數。
佐治亞大學著名的素數學家卡爾·波梅蘭斯說：“這種密碼系統是對無知的利用。由於這種密碼，更多的人捲入了對數論的研究。而致力於研究分解因子問題（尋找素數除數）而未獲成功的數學家愈多，這種密碼就愈可靠。”因此，這種密碼系統的成功又以另一種方式仰賴於數論：要確認那相乘的100位數的素數必須運用尖端的數學方法。
既然素數處於密碼學的顯要位置，我想考察一下關於素數何為已知的，以及何為未知的。很久以前，歐幾里得就證明素數是無限多的。他2，300年前的證明依然是數學簡明而別緻的範例。
歐幾里得說，我們假設素數是有限的，那麼其中之一——我們稱之為P——就會是最大的。現設有一個比P大的數Q，Q等於1加上從1到P所有整數的積。換句話說，Q＝1＋1×2×3……×P。對於Q來說，很明顯，從2到P的所有整數都不能整除它；每次除都會得出餘數1。如果Q不是素數，它就會被某個比P大的素數整除。相反，如果Q是素數的話，Q本身就是一個比P大的素數。兩種可能性都意味著比最大素數還要大的素數的存在。這當然就意味著，“最大的素數”這概念是虛設的。但如果沒有這樣一個怪數，素數就一定是無限的。
長期以來，數學家們一直夢想著發現一種公式，運用這個公式代入從0到無窮大的n的整數值就可以得出所有素數。 18世紀的大數學家列奧納德·歐拉反复考慮用那個誘人的簡單公式n2＋n＋41。如n＝0，該公式則得出素數41；如n＝1，得素數43；n＝2得素數47。的確，當n為0至39中連續的整數值時，歐拉公式得出的全是素數。但如n＝40時，這一公式突然不靈了。其得數1，681是41的平方。
歐拉公式
1963年，曾在洛斯阿拉莫斯從事早期原子彈研製性工作的卓越數學家斯坦尼斯勞·烏拉姆在一片紙上隨意寫出一串數字，它們是連續的整數，從1開始呈方形螺旋地向外擴展：
烏拉姆的小草箋
使他震驚的是，草箋中的素數——我已用線標了出來——都落在了對角紙上。烏拉姆受到這種偶然發現的鼓舞便與兩個助手馬克·韋爾斯和邁倫·斯坦一起研究從除了1之外的整數開始的方形螺線。從41到44的整數也構成了一個螺線。同樣，素數也常常落在對角線上。從421至383這條長對角線與由歐拉的n2＋n＋41的公式所得出的素數是相對應的。
烏拉姆的大草箋
1963年，洛斯阿拉莫斯的馬尼艾克二型主機儲存了前9，000萬個素數。 “在洛斯阿拉莫斯我們也有一台第一流的圖解計算設備，”韋爾斯回憶說，“因此我們對用計算機繪出素數圖式感到異常激動。”馬尼艾克二型為1，000萬以下的所有素數都繪出方形螺線圖。果然，許多數都神奇地出現在對角線上。
歐拉公式n2＋n＋41在n為大數值時證明有令人震驚之效。馬尼艾克二型計算出，在1，00O萬以下的所有素數中，該公式可得出佔總素數的47．5％。而當n值較低時，該公式工作得更有成效。當n值小於2，398時，得素數的機會一半對一半。而當n值小於100時，該公式得出86個素數，合成數只有14個。
烏拉姆和助手們還發現了其他幾乎與歐拉公式同樣有效的生成素數的公式。公式4n2＋170n＋1，847計算1，000萬以下素數的成功率為46．6％，並得出760個歐拉公式所不能推出的素數。公式4n2＋4n＋59的成功率為43．7％，同時得出大約1，500個不能由其他兩個公式推出的素數。
最奇怪的是，雖然這些公式都有很高的成功率，雖然在方形螺線中存在明顯的對角線規則，但數理論家已證明與歐拉公式相仿的公式無一能生成全部的素數，或除素數外別無他物。但這一證明並未阻止浪漫主義者尋找素數的模式。
在100以內的數字中有25個素數：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89和97。這些連續的素數（以及隨後無限多的素數）之間的間隔並無明顯的範式可循。由於2是惟一的偶數素數，2與3也是惟一一對只相差1個的素數。
相差2的素數——被稱為孿生素數——又如何呢？在前25個素數中有8對孿生素數：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），（59，61）和（71，73）。大約150年來，數字理論家就推測過，孿生素數就像素數本身一樣是無限多的，但還沒有人能證明這一點。在1966年，研究取得進展，那時，中國數學家陳景潤證明：在只相隔兩個的無窮對數字中：第一個數為素數，第二個數也是素數或是兩個素數的積。 （為兩個素數之積的數被稱為“殆素數”，這一叫法既表明了數學家們不可抑制的樂觀主義，又證明了真正素數的發現之難。）
樂觀主義的另一表現是：陳先生證明了哥德巴赫猜想的較無力那一面的說法：每個“充分大”的偶數是一個素數和一個殆素數之和。 “充分大”是素數文獻中對“我知道我的證明對比某數Q大的所有數都有效，但我不知道Q是多少”的婉語。雖然短語“充分大”一詞模糊不清，數學家們仍然認為陳的證明是過去30年來對素數理論意義最為重大的發現。
人們對素數之間離得多開比素數如何相互靠近知道得更多一些。的確，很容易證明存在任意長的非素數的連續數列。讓n！表示1到n的所有整數的乘積。這樣，n！就可以被從2到n的每個整數整除。試想一下n!＋2，n！ ＋3，n！ ＋4……n！ ＋n的連續數列。這時，數列中的第一項n！ ＋2則可被2整除；第二項n！ ＋3可被3整除；第三項n！ +4可被4整除；等等。在這個數列中有n—1個數，沒有一個是素數。通過任意選擇n的大小，你可以得出你想要的無素數的連續整數數列。
但也有大量的長串素數數列。事實上，數理論家認為素數可以形成漫長的等差級數（由同樣差分開的素數數列）。較短的等差級數是容易發現的。例如，素數3，5和7構成3項差額同為2的等差級數。 （1944年，有人證明有無限組等差級數的3個素數。）素數199，409，619，829，1039，1249，1，459，1，669，1，879和2，089構成一個10項共同差額為210的等差級數。至於更長的級數，由於初始的素數和共同差額急劇上升，因而難於發現它們。然而，1983年，保羅·普里查德在康奈爾發現了19個呈等差級數的素數；初始素數為8，297，644，387，共同差額為4，180，566，390。
一些數學家甚至推測存在任意長連續素數的等差級數。例如，連續素數1，741，1，747，1，753和1，759構成4項差為6的等差級數。然而，現在還沒人能證明這一猜想，更不必說素數不必是連續的等差級數這一根據相對不足的猜想了。
對於素數，我們知道什麼又不知道什麼？對此可寫一篇長篇論文。再舉一個簡單例子就足已。有人已證明在比1大的任何數和其倍數之間至少有一個素數。 （這個證明的一個令人震驚的後果是：在n位數中至少有3個素數——n可為任何正整數。）但無人知道在任何比1大的數的平方和其相鄰數平方之間是否有一個素數。
既然素數本身沒有已知的模式可循，那麼數學家在努力證明它們時明顯顯示出雜亂無章也許是惟一合適的做法。某些基本定理——如有無限多的素數，它們之間有任意長的間隔——已簡單明了地得以證明。其他定理，如哥德巴赫猜想依然有待證明。雖然沒有一個自重的數學家對其正確性表示懷疑。為取得進展，數理論家採用了證明關於“殆素數”和“足夠大的數”的辦法。這一領域需要出現另一個歐幾里得或歐拉。在那之前，我們可能依然處於這種奇妙的狀態：依賴於秘密通訊的政府和工業繼續從數學家的無知中獲利。
對數理論有興趣的讀者不妨對這些未被證明的猜想動動手和計算器。如果猜想是正確的，證明工作可能會採用技術數學的成果，這是門外漢所做不到的。但如果與所期望的相反，它們碰巧是錯的，全部所需要的則是一個反例。據歷史記載，那些最具數學頭腦的人也會出錯。歐拉聲稱，1個5次方的數決不會等於兩個5次方的數、3個5次方的數或4個5次方的數之和。 （換句話說，不存在滿足等式x5=y5＋z5條件的整數x、y和z；不存在滿足等式a5=b5＋c5+d5條件的整數a，b，c和d；也沒有滿足等式m5=n5+o5+p5＋q5條件的整數m，n，o，p和q。）兩個世紀後的1966年，這一斷言受到駁斥，因為發現了一個反例：144的5次方正是另外4個5次方的數——即27，84，110和133——之和。
如果推斷未獲證明的猜想不是你的事，考慮考慮某些數也許是。但不要再犯哈迪的錯誤：早早地就把出租車號斥為無趣的。前不久我乘機遠行。當我為一本小說所吸引住時，鄰座那位坐臥不安的同伴笨嘴拙舌地試圖激起談興：“我們乘坐的是407號飛機。對我來說，這個數似乎很枯燥，我希望它不是個凶兆。”
“胡說，”我從書中抬起頭來答道，“這個數字一點也不枯燥，相反，它非常有趣。它是等於其各位數3次方之和的最大的3位數。”那人直盯著我，好像我是個瘋子，但他拿出一張便條開始不停地草算起來。他做了一路的計算，而我卻可以不受打擾地讀完我的小說。