現為麻省理工學院大學生的米歇爾·弗里德曼，1985年在布魯克林高中畢業班就讀時春風得意，獲得了當年的威斯汀豪斯科學天才獎的第三名。為了他這一獲獎項目，他不想用海蝦、果蠅或扁蟲來弄髒自己的手，也不想處理隨便任何一個多年遺留下的理論上的問題。不，他只是挑選了堪稱數學上最古老而未決的問題來對付。那是困擾著古希臘人和自那以後的每個人的一個問題：即存在奇數完全數嗎？
畢達哥拉斯及其好友認為，整數的完滿性，即完全數是任何其所有除數之和（該除數本身外）等於該數本身的整數。第一個完全數是6。它可被1、2和3整除並且是1、2和3之和。第二個完全數是28。它的除數是1、2、4、7和14，這些數加起來為28。希臘人所知道的就是這些，儘管他們做過嘗試，但沒有發現奇數完全數。
聖經評論家注意到，完全數6和28反映在宇宙的結構中：上帝在6天內創造了世界，月亮每28天繞地球一周。然而，使這些數字成為完全數的是其本身，而不是憑經驗所了解的世界的任何联系。聖·奧古斯丁是這樣表述的：“6本身是一個完全數，並不是因為上帝在6天內創造了萬物才如此；倒不如反過來說才對：因為6是完全數，所以上帝在6天內創造了萬物。即使不存在6天工作一說，6依然會是個完全數。”
“數學的整個領域都極其散漫，”坦普爾大學數學教授小彼得·哈及斯說，“我研究完全數是出於閒散的好奇心，因為它可能是最古老的未決問題。研究它也許意義不大，然而這一問題如此古老，沒有人認為對之進行研究完全是浪費時間。如果這一問題是5年前第一次提出來的，那它是決不會令人感興趣的。”
無論在哪一領域，達到完善總是很難的，偶數完全數也不例外。但是，人們至少知道它們是存在的。我們已發現了30個偶數完全數，最大的是一個由13萬位阿拉伯數字組成的龐然大物：2216,090（2216,090-1）。也許第三十一個完全數不會出現了，因為早在2300多年前數學家就已知道有無窮多的素數（即只能被1和它本身整除的數），但在同一時期，他們卻不能決定完全數是不是無限的。
要是在俄國茶室或“四季”咖啡館裡喝著可樂會見米歇爾·弗里德曼我會很高興的，但他寧可讓我們在斯替韋桑特中學他的校長辦公室中見面，而該校是曼哈頓數學家和科學家的中心。傳說，愛因斯坦不能做加減運算，但可在睡夢中研究高深的數學。米歇爾的情況也可以這麼說。在選擇我們會見時間這種簡單的事情中就體現了出來，因為這位傑出的小伙子不適於將中學時間——“第三節”和“第五節”——轉換成我們常人所遵照的小時和分鐘。然而一旦我們真聚到了一起，這位靦腆的天才就口若懸河地談論起來，一下成了使人興趣盎然的人了。
米歇爾告訴我：“去年我為一位數學老師寫一篇論文，我知道關於奇數完全數的問題。這問題使我感興趣，因為它很簡單，可還沒人找到答案。”接著，米歇爾首先回顧了完全數的歷史。
古人只知道4個完全數，它們是：6，28，496和8，128。歐幾里得認識到——大概只有古希臘的神祗才曉得他是如何知道的
完全數………… 位數
1. 21 (22-1 ) =6…………1
2. 22 ( 23-1 ) =28…………2
3. 24 (25-1) =496…………3
4. 26 (27-1) =8，128…………4
5. 212 (213-1) =33，550，336…………8
6. 216 (217-1 ) =8，589，869…………056…………10
7. 218 (219-1) =137，438，691，328…………12
8. 230 (231-1) =…………19
9. 260 (261-1) =…………37
10. 288 (289-1) =…………54
11. 2106 (2107-1) =…………65
12. 2126 (2127-1 ) =…………77
13. 2520 (2521-1 ) =…………314
14. 2606 (2607-1 ) =…………366
15. 21，278 (21，279-1) =…………770
16. 22，202 (22，203-1) =…………1，327
17. 22，280 (22，281-1) =…………1，373
18. 23，216 (22，317-1) =…………1，937
19. 24，252 (24，253-1) =…………2，561
20. 24，422 (24，423-1)=…………2，663
21. 29，688 (29，689-1) =…………5，834
22. 29，940 (29，94l-l)=…………5，985
23. 211，212 (211，213-1)=…………6，751
24. 219，36 (219，937-1)=…………12，003
25. 221，700 (221，701-1)=…………13，066
26. 223，208 (223，209-1)=…………13，973
27. 244，496 (244，497-1)=…………26，790
28. 286，242 (286，243-1)=…………51，924
29. 2132，048 (2132，049-1)=…………79，502
30. 2216，090 (2216，091-1)=…………130，100
這4個數是由公式2n-1（2n-1）當n=2，3，5和7時推出來的。算式如下：
n＝2，21（22-1）=2（3）=6
n=3，22（23-1）＝4（7）＝28
n＝5，24（25-1）＝16（31）＝496
n＝7，26（27-1）＝64（127）＝8，128
歐幾里得看出，在全部的4個算式中，2n-1是素數（3，7，31和127）。這種發現促使他證明一個重要的定理：當2n-1為素數時，那麼公式2n-1（2n-1）則得出偶數完全數。
歐幾里得的證明使得完全數理論有了一個興旺的開端。但由於其他數學家的短視，這一理論進展緩慢。許多思想精微的人自以為他們看出了數字模式，其實這些數字並不存在。如果他們看得更遠一點，他們就會發現這種模式是虛幻的。
古人觀察到，前4個完全數都是以6和8結尾的。進一步說，最後一個阿拉伯數字似乎是6，8，6，8地交替出現。所以有人推測，完全數最後一個阿拉伯數總會是6或8，並且它們會繼續交替出現。第五個完全數——古代人並不知道——的確是以6結尾的。但第六個完全數也是以6結尾的，這就打破了交替出現的模式。然而，關於最後一個阿拉伯數字總是6或8這一點，古人還是正確的。今天，數學家可以研究30個完全數——比古人多出7倍以上——但他們還必須找出尾數為6和8的模式。
古人還觀察到，第一個完全數有一位數字，第二位完全數有2位數字，第三個有3位數，第四個有4位數。所以他們推測，第五個完全數會有5位數。在歐幾里得故去17個世紀後發現了第五個完全數，它赫然具有8位數：33，550，336。並且位數繼續迅速增多，以下3個完全數分別為8，589，869，056；137，438，691，328；和2，305，843，008，139，952，128。
歐幾里得證明了一旦2n-1是素數，那麼2n-1（2n-1）就會得出一個完全數，但他並沒有說n的哪一個整數值會使2n-1成為素數。由於使2n-1為素數的前4個n值為前4個素數（2，3，5，7），可能有人推測：如n為素數，2n-1也會是素數。那麼，讓我們來試試看第五個素數：11。如n=11，2n-1則為2，047，而2，047並非素數（它是23和89的積）。真實情況是：要使2n-1為素數，n必須是素數，而n為素數並不就意味著2n-1是素數。事實上，對於n的大多數素數值來說，2n-1並不是素數。
由2n-1一式得出的數列現在稱作默塞納數列，馬林·默塞納是17世紀的巴黎僧侶，他在盡僧職之餘抽空進行數論的研究。根據歐幾里得的公式，每發現一個新的默塞納素數，就會自動出現一個完全數。 1644年，默塞納自己說，213-1，217-1和219-1這3個默塞納數是素數（8，191；131，071和524，287）。這位僧侶還聲稱267-1這個巨大的默塞納數會是位素數。在250多年的時間裡，沒有人對這一大膽的聲言提出疑問。
1903年，在美國數學協會的一次會議上，哥倫比亞大學教授弗蘭克·納爾遜·科爾提交了一篇慎重的論文，題為：論大數的分解因子。數學史家埃里克·坦普·貝爾記下這一時刻所發生的事：“一向沉默寡言的科爾走上台去，不言不語地開始在黑板上計算267。然後小心地減去1，得出21位的龐大數字：
147，573，952，589，676，412，927。
他仍一語不發地移到黑板上的空白處，一步步做起了乘法運算：
193，707，721×761，838，257，287
兩次計算結果相同。默塞納的猜想——假如確曾如此的話——就此消失在數學神話的廢物堆裡了。據記載，這是第一次也是惟一的一次，美國數學協會的一位聽眾在宣讀論文之前向其作者熱烈歡呼。科爾一聲不吱在他座位上坐下。沒人向他提任何問題。 ”
在歐幾里得證明他的公式總是得出偶數完全數的大約2，000年之後，18世紀的瑞士數學家倫納德·尤勒證明，該公式將得出全部的偶數完全數。這樣，我們就可以用另一種方式提出奇數完全數問題：是否存在不是由歐幾里得公式得出的完全數呢？
為弄清最近取得的進展，年輕的米歇爾·弗里德曼埋頭翻閱過期雜誌：《計算數學》、《數論雜誌》、《數學學報》及一堆決不會在咖啡桌上看到的其他期刊。他甚至參閱理查德·蓋伊的艱深的經典著作《數論中的未決問題》，該書不僅討論完全數，而且還探討十幾個其他神秘專題：“近超完全數”、“友誼圖表”、“優雅圖”、“貪婪規則係統”、“紐環遊戲”、“達文波特-施尼茨爾系列”、“半友善數”、“友善數”和“不可接觸數”。
米歇爾知道，困於這一棘手問題的數論學家們驗明：如果真有奇數完全數存在的話，所必須具備的各類特徵有：它必須被至少8個不同的素數整除，其中最大的一定要大於300，000，次大的也要大於1，000。如果奇數完全數不能被3除，它至少應被11個不同的素數整除。此外，當一個奇數完全數除以12時，它應有餘數1；當它除以36時，它的餘數應該是9。
我們從這些驗證中能得出什麼結論呢？對奇數完全數的限制越多，奇數完全數存在的可能性就越小。 1973年，彼得·哈吉斯運用這樣的限制條件並藉助於計算機肯定地證明了1050以下沒有奇數完全數。米歇爾從蓋伊的書中看到，自1973年以來，其他數論家“漸漸地把奇數完全數不可能存在的上限推到10100，儘管有人對後面這一證明表示懷疑”。
既然與蓋伊一樣有權威的人對這些證明提出質疑，米歇爾決定重新研究更低限問題。他運用IBM PC機及一組限制因素，包括一些文獻中極少提到的來自印度的限制因素，證明在1079之下不存在奇數完全數，1079有8個素數因數——這是一個奇數完全數所能有的最少的素數因數的數目。
米歇爾說：“我在論文中只是引用了蓋伊的話：以前（關於奇數完全數低限很高）的證明是可疑的。當我參加威斯汀豪斯決賽時，我決定檢查其他一些證明，但沒有發現它們可疑的原因。因此，我給蓋伊打了電話，他告訴我，數學家不喜歡由計算機做出的證明，因為你沒法知道：編程序的人出繼漏了嗎？計算機出故障了嗎？”
即使該計算機的計算錯誤（比如說在別的計算機上）被檢查出來，但由於那些證明本身常常很長並且很複雜，因而除了原作者沒人對它們一步步地仔細加以審查。只有哈吉斯的證明（整整長達83頁！）曾由其他數學家全面地審查過，並宣佈為有充分根據。
米歇爾哧哧地笑了，他不無驕傲地說：“我的證明也是可疑的。威斯汀豪斯的人們不是沒有理解就是滿不在乎。就我所知，沒人真正審閱過我的論文。”
根據他的論文及其他輔助材料，米歇爾成了從多達1，100名參賽者中選出的40名威斯汀豪斯決賽選手之一。他們40人被召到華盛頓，在那兒決出10位優勝者。米歇爾解釋說：“一旦你來到華盛頓，那幾乎就不是根據你的論文來看了。一組科學家對你進行面試，他們會問：'你如何測出太陽與地球間的距離？你如何測出華盛頓紀念碑的高度？'有一女孩說：'用捲尺測量。'有位科學家領帶上面附有半張元素週期表，他就元素週期表問題向每個人提問。有些人注意到了領帶並徑直讀出答案。我不這樣，因此我不得不記住氧的質子數及電子層數。”
米歇爾補充說：“向我們提問的還有一位精神病醫生。”我吃了一驚。 “當我談到精神病醫生時，人們都感到吃驚。他向人們詢問他們的家庭生活。威斯汀豪斯想發現未來的諾貝爾獎獲得者。那才是他們的大事。他們希望在前10名中有未來的諾貝爾獎獲得者。”米歇爾解釋說，過去有5名威斯汀豪斯決賽選手（一年有40個，並且這種競賽一直進行了44年）獲得諾貝爾獎，但這5人之中，只有1人是前10名的。米歇爾耐心地向我解釋，威斯汀豪斯這種做法還不如隨意選擇呢。 （每年從40名中隨意選擇10名會在前10名中產生出1．25名諾貝爾獎金獲得者。至於怎麼會有0．25個科學家到斯德哥爾摩去領獎就只能留給數學家去想像了。）那些精神病專家顯然是被請來從參賽者中發現獲諾貝爾獎人物的苗子，以便提高他們的比例的。
米歇爾接著說：“我的指導人在我的申請中寫道，我不會放過一個問題，我是非常固執的。因此，精神病專家就固執一事整整問了我15分鐘，'你怎麼個固執法？你考慮過固執會給你今後的生活造成損害嗎？你是否會就是因為你曾經反對過某些建議而根本拒絕接受呢？'”
既然米歇爾成功地進入了前10名，那也許可以說固執是榮獲諾貝爾獎桂冠者的部分品性。對威斯汀豪斯（以及米歇爾）來說，不幸的是：沒有數學或計算機科學方面的諾貝爾獎。如果他一心要獲得這方面的諾貝爾獎，恐怕最終只好去擺弄海蝦了。
其實，米歇爾如果放棄完全數會更有利於他的健康。其他研究完全數時間太長的人結果都不可避免地陷入到古人的數字神秘主義中去。文藝復興時的數學家米歇爾·施蒂費爾和彼得·邦格斯沒能解開完全數之謎；施蒂費爾錯誤地宣稱，除6以外的所有完全數可被4整除，邦格斯也就尾數做出錯誤的判斷。他們在擺弄過數字的完滿性之後轉向了相反的性質——罪惡，他們是在那個臭名昭著的兇數——666——上發現罪惡的。
華萊士·約翰·斯坦霍普——保羅·內森的科幻小說《牛頓的天賦》中的物理學家——為這一想法所困擾，即牛頓和往日其他科學鉅子一定在乏味的數學計算上費了很多的時間。試想一下可憐的牛頓由於算術上的簡單錯誤而無休止地拖延了重力的發現的情形吧！當斯坦霍普發明了一種背囊大小的時間機器時，他決定到1666年的英格蘭去——當時牛頓正處在他的黃金年華，恰巧，那年還是那場世紀性瘟疫的最後一年——送給牛頓一個袖珍計算器。斯坦霍普的動機無疑是要把牛頓的非凡的大腦從乏味的計算中解脫出來。
可是，牛頓害怕這個計算器，尤其是它通紅的數字顯示：“上帝是我的救主，它是魔王的發明嗎？它的眼睛閃耀著魔鬼王國的顏色呢。”
“你不能不相信你自己的眼睛，”斯坦霍普回答說，“讓我演示給你看它是如何工作的。我只要按幾個鈕就可以給你除兩個數。”斯坦霍普隨便地按了幾個數：81，918除以123。當得數亮出來時，牛頓立刻雙膝跪倒在地並開始祈禱。然後，他站起來，猛地從火爐中抓起一把燙手的撥火鐵棍向斯坦霍普擲去，斯坦霍普這才慌忙逃回到今日的時空坐標中來。
牛頓粗暴的反應可由斯坦霍普不幸選擇的數來解釋：81，918除以123正巧是666：兇數。信仰宗教的牛頓在可怕的紅燈中驚恐地看到倒下的大天使在他面前悸動的指紋。據說，正是這次與魔鬼的遭遇才促使牛頓寫神學著作。
雖然這個精妙的故事是虛構的，但它在精神上與牛頓迷戀於玄奧和超自然是一致的。牛頓就宗教和神學問題寫下了130多萬字的著作。他寫了多方面的文字來解釋先知的語言，他無疑對《聖經》關於兇數666的預測很熟悉。由於其他研究科學和數學的人都陷於666的神秘性中，因此有必要探求一下該數是如何得此惡名的。
在中世紀，一群以希伯來神秘主義哲學家聞名的猶太學者就異教徒指出《聖經》中明顯的矛盾、瑣屑和謬誤做出了睿智的回答。這些哲學家聲稱，《舊約》中的許多內容是用密碼寫成的。這是《聖經》顯得紊亂的原因。然而，一旦破譯出密碼，一切都會豁然開朗，神的真諦也就被揭示出來了。破譯的主要方法是隱語解法：通過對所有字母進行處理，將一個詞或短語轉換成數，以預定數值代替每個字母，並算出這些數字之和。他們認為該字母或短語與其他具有相等的和的詞或短語有關。
例如，《創世紀》第十八章第二節：亞伯拉罕舉目觀看，“瞧！有3個人在對面站著”，但沒有指明這3個人是誰。神秘主義哲學家們運用隱語解法發現這3個人是大天使米歇爾、加百列和拉斐爾。如果把希伯來原文的字母“瞧！3個人”代之以相應的數，它們的和為701，與“這些是米歇爾、加百列和拉斐爾”字母相應數之和相等。神秘主義哲學家們通過類似的數學破譯密碼法回答了《申命記》第三十章第十二節中提出的問題：“誰替我們上天去？”這些詞的希伯來文所有字母合在一起得出的和與“割禮和耶和華”和希伯來語所有字母之和相等，這意味著上帝認為割禮是去向天國的通行證。這種以數學解《聖經》的方法激發了猶太學者對數學的興趣。
基督教神學家們很快採用了神秘主義哲學家們的神秘分析方法。 《新約》本身實際上推動了在姓名與數字之間尋求對應關係的應用，正是在那兒第一次出現了666這個數。 《啟示錄》第十三章第十一節警告邪惡力量：“我又看見另有一個獸從地中上來。有兩個角如同羊羔，說話好像龍。”7行後，我們知道了這只獸是與666這個數相關的一個人：“在這裡有智慧，凡有理解力的人可以計算獸的數字：因為這是人的數字，他的數字是六百六十六。”但這人是誰呢？上文所述誘使我們對人名使用隱語解法來確認這頭獸。
這頭獸是敵基督或假基督。在《聖經》裡所記的時代，假基督被認為是羅馬皇帝。他通過創立一種異教而對上帝的統治進行挑戰，這種異教崇拜皇帝並有自己的教士。 《聖經》評論家懷疑這頭獸是羅馬皇帝尼祿，但要從他的名字中得出666來需要經過多次處理。如果把尼祿的名字用希臘語寫成尼羅恩，再加上獨裁者的稱號，然後將獨裁者尼祿合譯為希伯來文，再將字母轉為相應的數字，總數相加之和就是666。
不管怎樣，神奇地把該獸描繪成名數為666的人使得一代又一代的佔數家絞盡腦汁。在16世紀，數學家們也參與其中。德國修道士米歇爾·施蒂費爾研究過代數和數論。他是首先使用加號+和減號-的人之一。他偷偷地把對該獸之數的奇特解釋寫入一本論代數的經典著作中去。施蒂費爾決心指摘教皇利奧十世的品性，他要對宗座之名進行曲解。
他把十拼成DECIMUS（拉丁語“第十”），然後按羅馬人的習慣把U改為V而得DECIMVS。他從LEO DECIMVS中挑選出為羅馬數字的字母——L，D，C，I，M和V，作為額外增添而從LEOX中加進X。這樣，施蒂費爾通過以數代替這些羅馬數字而計算出該名字的數值：L（50）＋D（500）＋C（100）+I（1）＋M（1，000）＋V（S）＋X（10）=1，666。
啊！多了1，000。施蒂費爾想，數值為1，000的M一定是代表mysterium（神秘）。他從這組字母中除去神秘正好得出了666。他做出這一發現後背棄了出家人的誓言而成為馬丁·路德的追隨者。
如果施蒂費爾把注意力集中到該教皇拉丁語尊號之一的羅馬數字上，他就會更為令人信服地獲得同樣的結果，該尊號為Vicar－ius Filii Dei，其計算結果為：V（5）＋I（1）＋C（100）＋I（1）＋U（5）+I（1）＋L（50）+I（1）＋I（1）＋D（500）＋I（1）=666。
儘管如此，施蒂費爾還是努力獲得了他想要的東西。羅馬天主教徒為這種叛逆的發現所激怒，威脅要殺死他。 1522年，他避難到路德自己的家中。路德很高興有一個新的皈依者，但要他忘記佔數那玩意兒。施蒂費爾沒有理會這一勸告而開始從《聖經》中搜尋世界末日到來的線索。他深信世界末日是1553年10月18日，並到處傳播這一消息，結果被捕。隨著這一天的臨近，他教區的教民傾其積蓄大肆吃喝。而當他們10月19日一早醒來看到世界依舊平靜時，他們想殺死這個騙子，由於路德的干預，施蒂費爾才免於一死。對施蒂費爾來說，一生中面臨兩次死亡威脅已經夠受的了，因此他放棄了預言而全身心地投入到數學中去。結果他成了16世紀德國一位傑出的代數學家。
我要補充的是，施蒂費爾對那頭野獸的數字的解釋並非沒有引起爭議。他的同時代人、長達700頁《數的奧秘》一書的作者彼得·邦格斯試圖悄悄把該數應用於路德本人。選取馬丁·路德的名字Martin Luther，姓用拉丁語則成MARTINLUTERA。然後，讓A至I的字母代表1—9的數字（I和J按當時的習慣可以互換），K到S的字母代表10—90（均乘以10），T到Z代表100至700的數（均乘以100）。邦格斯根據字母和數之間的這種聯繫看出M（30）＋A（1）＋R（80）＋T（100）+I（9）＋N（40）＋L（20）＋U（200）＋T（100）＋E（5）＋R（80）＋A（1）=666。想想看嘛！
除666外，《聖經》為趣味數學提供了許多啟示。如果《聖經》中運用的某個數不是像100或1，000這樣的大整數，古人就認為該數有神秘的意義。一般來說，如果一個數被發現有某些別緻而簡單的算術特徵——往往與一連串整數的和或積有關，那麼這個特別的數則具有了神秘的意義。例如，在約翰福音的第二十一章第十一節中，耶穌和他的門徒在太巴列海成功地進行了一次捕魚行動。當他們把那網魚拖上來時發現有153條魚：“西門·彼得就去把網拉到岸上，那網盛滿了大魚，共153條，魚雖然很多，網卻沒有破。”153在數學上有何特殊之處呢？想一想，然後我再透露實情。
首先，153=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17。換句話說，它等於1至17間所有整數之和。
但153的魔力還不止這些。它可用另一種重要方式來表示：153=1＋（1×2）＋（1×2 ×3）＋（1×2× 3× 4）＋（1×2×3 ×4×5）。現代數學家會更簡練地寫出這一等式：153=1！ +2！ +3！ +4！ +5！如果一個數後面跟著一個感嘆號，你就可以得到從1到該數本身所有整數的乘積。這種運算被稱作求階乘。
一位學者大致按照這種方法發現如果把153中各位數的3次方相加也可得出153。可簡單地表示為，153=13＋53+33。據數學作家馬丁·加德納說，1961年，菲爾·科恩（以色列約納姆人）告訴英國反傳統周刊《新科學家》說，153潛藏在每個含有因數3的數中。我要留給讀者自己去推算科恩在《新科學家》中談及的內容。不過這裡有一個提示：選取3的任何倍數，計算出其各位數字3次方之和。再計算出得數的各位數字3次方之和。就這樣不斷地算下去。
我們再來看看《聖經》中的另一個數：220。 《創世紀》第三十二章第十四節記載，雅各布給以掃220只山羊（母山羊200，公山羊20）以示友好。但為何是220呢？畢達哥拉斯的信徒們探求出作為“友好”的特別數字，而220則是這些數字中的第一個。友好數的概念是基於人的朋友是一種變相自我這一看法而來。畢達哥拉斯曾說：“一個朋友是另一個我，如同220與284一樣。”這兩個數在數學上有何特別突出之處呢？
原來，220和284相互等於對方真除數之和（真除數是能被一個數整除的所有除數[ 包括1，但不包括該數本身] 。）220的真除數為1，2，4，5，10，11，20，22，44，55和110。果然，1＋2+4＋5＋10＋11+20+22+44＋55＋110=284。而284的真除數為1，2，4，71和142，它們之和為220。
雖然古人對友好數很感興趣，但第二對友好數（17，196和18，416）直到1636年才由皮埃爾·弗馬特發現。到19世紀中期，許多有才能的數學家為發現一對對的友好數做了長期而艱苦的努力，結果發現了60對友好數。而直到1866年，才發現次最小的一對友好數：1，184和1，210，它是由一位16歲的男孩發現的。
現代數學家將友好數的概念從一組2個擴展到一組3個。在一組友好的3個數中，任何一個數的真除數之和都等於其他兩個數之和。 103，340，640；123，228，768和124，015，008就是如此。另一組友好的三個數為1，945，330，728，960；2，324，196，638，720和2，615，631，953，920。但對我來說，這種數看起來不像友好數。誠18然，如偉大的創造性數學家約瑟夫·馬達奇所說，3個一組的友好數並不易發現，在上面這一組數字中3個數分別有959，959和479個除數。
數學家們雖然注意到了“保障來自反复”這一古老諺語，他們可不是見好就收的人。有人想看看如果選一個數，算出其真除數之和，然後再算出該和的真除數之和，如此往復無窮，會出現什麼樣的情形。在大部分時間裡，計算總是索然無味，但如果你一直這麼做下去，就會難得地在某處回到了原來數上。以12，496為例，其真除數為1，2，4，8，11，16，22，44，71，88，142，176，284，568，781，1，136，1，562，3，124和6，248。這些數相加，得14，288。再把14，288的真除數相加，得數為15，472（如果你不相信可以自己試一試！）。再做兩次這樣的運算，會先後得出14，536和14，264。現在看14，264的真除數，它們分別為1，2，4，8，1，783，3，566和7，132。將這7個除數相加，噢，你看，是12，496。如果你不怕浪費時間的話，就從14，316這個數開始做同樣的運算。你會在28輪後重新得出這個數！