第15章 第十章不等式-2

就算強大的量子計算機真的問世了，電子安全的前景也並非一片黯淡，俗話說得好，上帝在這里關上了門，但又在別處開了一扇窗。量子論不但給我們提供了威力無比的計算破解能力，也讓我們看到了另一種可能性：一種永無可能破解的加密方法。這是另一個炙手可熱的話題：量子加密術（quantum cryptography）。如果篇幅允許，我們在史話的最後會簡單描述一下這方面的情況。這種加密術之所以能夠實現，是因為神奇的量子可以突破愛因斯坦的上帝所安排下的束縛——那個宿命般神秘的不等式。而這，也就是我們馬上要去討論的內容。 但是，在本節的最後，我們還是回到多宇宙解釋上來。我們如何去解釋量子計算機那神奇的計算能力呢？德義奇聲稱，唯一的可能是它利用了多個宇宙，把計算放在多個平行宇宙中同時進行，最後匯總那個結果。拿肖的算法來說，我們已經提到，當它分解一個250位數的時候，同時進行著10^500個計算。德義奇憤憤不平地請求那些不相信MWI的人解釋這個事實：如果不是把計算同時放到10^500個宇宙中進行的話，它哪來的資源可以進行如此驚人的運算？他特別指出，整個宇宙也只不過包含大約10^80個粒子而已。但是，雖然把計算放在多個平行宇宙中進行是一種可能的說法（雖然聽上去仍然古怪），其實MWI並不是唯一的解釋。基本上，量子計算機所依賴的只是量子論的基本方程，而不是某個解釋。它的模型是從數學上建築起來的，和你如何去解釋它無干。你可以把它想像成10^500個宇宙中的每一台計算機在進行著計算，但也完全可以按照哥本哈根解釋，想像成未觀測（輸出結果）前，在這個宇宙中存在著10^500台疊加的計算機在同時干活！至於這是如何實現的，我們是沒有權利去討論的，正如我們不知道電子如何同時穿過了雙縫，貓如何同時又死又活一樣。這聽起來不可思議，但在許多人看來，比起瞬間突然分裂出了10^500個宇宙，其古怪程度也半斤八兩。正如柯文尼在《時間之箭》中說的那樣，即使這樣一種計算機造出來，也未必能證明多世界一定就比其它解釋優越。關鍵是，我們還沒有得到實實在在可以去判斷的證據，也許我們還是應該去看看還有沒有別的道路，它們都通向哪些更為奇特的方向。

四 我們終於可以從多世界這條道路上抽身而退，再好好反思一下量子論的意義。前面我們留下的那塊“意識怪獸”的牌子還歷歷在目，而在多宇宙這裡我們的境遇也不見得好多少，也許可以用德威特的原話，立一塊“精神分裂”的牌子來警醒世人注意。在哥本哈根那裡，我們時刻擔心的是如何才能使波函數坍縮，而在多宇宙那裡，問題變成了“我”在宇宙中究竟算是個什麼東西。假如我們每時每刻都不停地被投影到無數的世界，那麼究竟哪一個才算是真正的“我”呢？或者，“我”這個概念乾脆就應該定義成由此刻開始，同時包含了將來那n條宇宙岔路里的所有“我”的一個集合？如果是這樣的話，那麼“量子永生”聽起來就不那麼荒誕了：在這個集合中“我”總在某條分支上活著嘛。假如你不認同，認為“我”只不過是某時某刻的一個存在，隨著每一次量子測量而分裂成無數個新的不同的“我”，那麼難道我們的精神只不過是一種瞬時的概念，它完全不具有連續性？生活在一個無時無刻不在分裂的宇宙中，無時無刻都有無窮個新的“我”的分身被製造出來，天知道我們為什麼還會覺得時間是平滑而且連續的，天知道為什麼我們的“自我意識”的連續性沒有遭到割裂。

不管是哥本哈根還是多宇宙，其實都是在努力地試圖解釋量子世界中的這樣一個奇妙性質：疊加性。正如我們已經在史話中反復為大家所揭示的那樣，當沒有觀測前，古怪的量子精靈始終處在不確定的狀態，必須描述為所有的可能性的疊加。電子既在這裡又在那裡，在實際觀測之前並不像以前經典世界中我們不言而喻地假定的那樣，有一個唯一確定的位置。當一個光子從A點運動到B點，它並不具有經典力學所默認的一條確定的軌跡。相反，它的軌跡是一團模糊，是所有可能的軌蹟的總和！而且不單單是所有可能的空間軌跡，事實上，它是全部空間以及全部時間的路徑的總和！換句話說，光子從A到B，是一個過去、現在、未來所有可能的路線的疊加。在此基礎之上費因曼建立了他的“路徑積分”（path

integral）方法，用以計算量子體系在四維空間中的機率振幅。我們在史話的前面已經看到了海森堡的矩陣和薛定諤的波，費因曼的路徑積分是第三種描述量子體系的手段。但同樣可以證明，它和前兩者是完全等價的，只不過是又一種不同的數學表達形式罷了。配合費因曼圖，這種方法簡單實用，而且非常巧妙。把它運用到原子體系中，我們會驚奇地發現在絕大部分路徑上，作用量都互相抵消，只留下少數可能的“軌道”，而這正和觀測相符！ 我們必須承認，量子論在現實中是成功的，它能夠完美地解釋和說明觀測到的現象。可是要承認疊加，不管是哥本哈根式的疊加還是多宇宙式的疊加，這和我們對於現實世界的常識始終有著巨大的衝突。我們還是不由地懷念那流金的古典時代，那時候“現實世界”仍然保留著高貴的客觀性血統，它簡單明確，符合常識，一個電子始終有著確定的位置和動量，不以我們的意誌或者觀測行為而轉移，也不會莫名其妙地分裂，而只是一絲不苟地在一個優美的宇宙規則的統治下按照嚴格的因果律而運行。哦，這樣的場景溫馨而暖人心扉，簡直就是物理學家們夢中的桃花源，難道我們真的無法再現這樣的理想，回到那個令人懷念的時代了嗎？

且慢，這裡就有一條道路，打著一個大廣告牌：回到經典。它甚至把愛因斯坦拉出來作為它的代言人：這條道路通向愛因斯坦的夢想。天哪，愛因斯坦的夢想，不就是那個古典客觀，簡潔明確，一切都由嚴格的因果性來主宰的世界嗎？那裡面既沒有擲骰子的上帝，也沒有多如牛毛的宇宙拷貝，這是多麼教人心動的情景。我們還猶豫什麼呢，趕快去看看吧！ 時空倒轉，我們先要回到1927年，回到布魯塞爾的第五屆索爾維會議，再回味一下那場決定了量子論興起的大辯論。我們在史話的第八章已經描寫了這次名留青史的會議的一些情景，我們還記得法國的那位貴族德布羅意在會上講述了他的“導波”理論，但遭到了泡利的質疑。在第五屆索爾維會議上，玻爾的互補原理還剛剛出台，粒子和波動還正打得不亦樂乎，德布羅意的“導波”正是試圖解決這一矛盾的一個嘗試。我們都還記得，德布羅意發現，每當一個粒子前進時，都伴隨著一個波，這深刻地揭示了波粒二象性的難題。但德布羅意並不相信玻爾的互補原理，亦即電子同時又是粒子又是波的解釋。德布羅意想像，電子始終是一個實實在在的粒子，但它的確受到時時伴隨著它的那個波的影響，這個波就像盲人的導航犬，為它探測周圍的道路的情況，指引它如何運動，也就是我們為什麼把它稱作“導波”的原因。德布羅意的理論裡沒有波恩統計解釋的地位，它完全是確定和實在論的。量子效應表面上的隨機性完全是由一些我們不可知的變量所造成的，換句話說，量子論是一個不完全的理論，它沒有考慮到一些不可見的變量，所以才顯得不可預測。假如把那些額外的變量考慮進去，整個系統是確定和可預測的，符合嚴格因果關係的。這樣的理論稱為“隱變量理論”（Hidden

Variable Theory）。 德布羅意理論生不逢時，正遇上偉大的互補原理出台的那一刻，加上它本身的不成熟，於是遭到了眾多的批評，而最終判處它死刑的是1932年的馮諾伊曼。我們也許還記得，馮諾伊曼在那一年為量子論打下了嚴密的數學基礎，他證明了量子體系的一些奇特性質比如“無限後退”。然而在這些之外，他還順便證明了一件事，那就是：任何隱變量理論都不可能對測量行為給出確定的預測。換句話說，隱變量理論試圖把隨機性從量子論中趕走的努力是不可能實現的，任何隱變量理論——不管它是什麼樣的——注定都要失敗。 馮諾伊曼那華麗的天才傾倒每一個人，沒有人對這位20世紀最偉大的數學家之一產生懷疑。隱變量理論那無助的努力似乎已經逃脫不了悲慘的下場，而愛因斯坦對於嚴格的因果性的信念似乎也注定要化為泡影。德布羅意接受這一現實，他在內心深處不像玻爾那樣頑強而充滿鬥志，而是以一種貴族式的風度放棄了他的觀點。整個3、40年代，哥本哈根解釋一統天下，量子的不確定性精神深植在物理學的血液之中，眾多的電子和光子化身為波函數神秘地在宇宙中瀰漫，眾星拱月般地烘托出那位偉大的智者——尼爾斯?玻爾的魔力來。

1969年諾貝爾物理獎得主蓋爾曼後來調侃地說：“玻爾給整整一代的物理學家洗了腦，使他們相信，事情已經最終解決了。” 約翰?貝爾則氣忿忿地說：“德布羅意在1927年就提出了他的理論。當時，以我現在看來是丟臉的一種方式，被物理學界一笑置之，因為他的論據沒有被駁倒，只是被簡單地踐踏了。” 誰能想到，就連像馮諾伊曼這樣的天才，也有陰溝裡翻船的時候。他的證明不成立！馮諾伊曼關於隱函數理論無法對觀測給出唯一確定的解的證明建立在5個前提假設上，在這5個假設中，前4個都是沒有什麼問題的，關鍵就在第5個那裡。我們都知道，在量子力學裡，對一個確定的系統進行觀測，我們是無法得到一個確定的結果的，它按照隨機性輸出，每次的結果可能都不一樣。但是我們可以按照公式計算出它的期望（平均）值。假如對於一個確定的態矢量Φ我們進行觀測X，那麼我們可以把它坍縮後的期望值寫成<X，Φ>。正如我們一再強調的那樣，量子論是線性的，它可以疊加。如果我們進行了兩次觀測X，Y，它們的期望值也是線性的，即應該有關係：

<XY，Φ>＝<X，Φ>＋<Y，Φ> 但是在隱函數理論中，我們認為系統光由態矢量Φ來描述是不完全的，它還具有不可見的隱藏函數，或者隱藏的態矢量H。把H考慮進去後，每次觀測的結果就不再隨機，而是唯一確定的。現在，馮諾伊曼假設：對於確定的系統來說，即使包含了隱函數H之後，它們也是可以疊加的。即有： <XY，Φ，H>＝<X，Φ，H>＋<Y，Φ，H> 這裡的問題大大地有。對於前一個式子來說，我們討論的是平均情況。也就是說，假如真的有隱函數H的話，那麼我們單單考慮Φ時，它其實包含了所有的H的可能分佈，得到的是關於H的平均值。但把具體的H考慮進去後，我們所說的就不是平均情況了！相反，考慮了H後，按照隱函數理論的精神，就無所謂期望值，而是每次都得到唯一的確定的結果。關鍵是，平均值可以相加，並不代表一個個單獨的情況都能夠相加！

我們這樣打比方：假設我們扔骰子，骰子可以擲出1－6點，那麼我們每扔一個骰子，平均得到的點數是3.5。這是一個平均數，能夠按線性疊加，也就是說，假如我們同時扔兩粒骰子，得到的平均點數可以看成是兩次扔一粒骰子所得到的平均數的和，也就是3.5+3.5=7點。再通俗一點，假設ABC三個人同時扔骰子，A一次扔兩粒，B和C都一次扔一粒，那麼從長遠的平均情況來看，A得到的平均點數等於B和C之和。 但馮諾伊曼的假設就變味了。他其實是假定，任何一次我們同時扔兩粒骰子，它必定等於兩個人各扔一粒骰子的點數之和！也就是說只要三個人同時扔骰子，不管是哪一次，A得到的點數必定等於B加C。這可大大未必，當A擲出12點的時候，B和C很可能各只擲出1點。雖然從平均情況來看A的確等於B加C，但這並非意味著每回合都必須如此！

馮諾伊曼的證明建立在這樣一個不牢靠的基礎上，自然最終轟然崩潰。終結他的人是大衛?玻姆（David Bohm），當代最著名的量子力學專家之一。玻姆出生於賓夕法尼亞，他曾在愛因斯坦和奧本海默的手下學習（事實上，他是奧本海默在伯克利所收的最後一個研究生），愛因斯坦的理想也深深打動著玻姆，使他決意去追尋一個回到嚴格的因果律，恢復宇宙原有秩序的理論。 1952年，玻姆復活了德布羅意的導波，成功地創立了一個完整的隱函數體系。全世界的物理學家都吃驚得說不出話來：馮諾伊曼不是已經把這種可能性徹底排除掉了嗎？現在居然有人舉出了一個反例！ 奇怪的是，發現馮諾伊曼的錯誤並不需要太高的數學技巧和洞察能力，但它硬是在20年的時間裡沒有引起值得一提的注意。 David Mermin挪揄道，真不知道它自發表以來是否有過任何專家或者學生真正研究過它。貝爾在訪談裡毫不客氣地說：“你可以這樣引用我的話：馮諾伊曼的證明不僅是錯誤的，更是愚蠢的！”

看來我們在前進的路上仍然需要保持十二分的小心。 ********* 飯後閒話：第五公設 馮諾伊曼栽在了他的第五個假設上，這似乎是冥冥中的天道循環，2000年前，偉大的歐幾里德也曾經在他的第五個公設上小小地絆過一下。 無論怎樣形容《幾何原本》的偉大也不會顯得過分誇張，它所奠定的公理化思想和演繹體系，直接孕育了現代科學，給它提供了最強大的力量。 《幾何原本》把幾何學的所有命題推理都建築在一開頭給出的5個公理和5個公設上，用這些最基本的磚石建築起了一幢高不可攀的大廈。 對於歐氏所給出的那5個公理和前4個公設（適用於幾何學的他稱為公設），人們都可以接受。但對於第五個公設，人們覺得有一些不太滿意。這個假設原來的形式比較冗長，人們常把它改成一個等價的表述方式：“過已知直線外的一個特定的點，能夠且只能夠作一條直線與已知直線平行”。長期以來，人們對這個公設的正確性是不懷疑的，但覺得它似乎太複雜了，也許不應該把它當作一個公理，而能夠從別的公理中把它推導出來。但2000年過去了，竟然沒有一個數學家做到這一點（許多時候有人聲稱他證明了，但他們的證明都是錯的）！ 歐幾里德本人顯然也對這個公設感到不安，相比其他4個公設，第五公設簡直複雜到家了（其他4個公設是：1，可以在任意兩點間劃一直線。2，可以延長一線段做一直線。3，圓心和半徑決定一個圓。4，所有的直角都相等）。在《幾何原本》中，他小心翼翼地盡量避免使用這一公設，直到沒有辦法的時候才不得不用它，比如在要證明“任意三角形的內角和為180度”的時候。 長期的失敗使得人們不由地想，難道第五公設是不可證明的？如果我們用反證法，假設它不成立，那麼假如我們導出矛盾，自然就可以反過來證明第五公設本身的正確性。但如果假設第五公設不成立，結果卻導致不出矛盾呢？ 俄國數學家羅巴切夫斯基（N. Lobatchevsky）正是這樣做的。他假設第五公設不成立，也就是說，過直線外一點，可以作一條以上的直線與已知直線平行，並以此為基礎進行推演。結果他得到了一系列稀奇古怪的結果，可是它們卻是一個自成體系的系統，它們沒有矛盾，在邏輯上是自洽的！一種不同於歐幾里得的幾何——非歐幾何誕生了！ 從不同於第五公設的其他假設出發，我們可以得到和歐幾里得原來的版本稍有不同的一些定理。比如“三角形內角和等於180度”是從第五公設推出來的，假如過一點可以作一條以上的平行線，那麼三角形的內角和便小於180度了。反之，要是過一點無法作已知直線的平行線，結果就是三角形的內角和大於180度。對於後者來說容易想像的就是球面，任何看上去平行的直線最終必定交匯。比方說在地球的赤道上所有的經線似乎都互相平行，但它們最終都在兩極點相交。如果你在地球表面畫一個三角形，它的內角和會超出180度，當然，你得畫得足夠大才測量得到。傳說高斯曾經把三座山峰當作三角形的三個頂點來測量它們的內角和，但似乎沒有發現什麼，不過他要是在星系間做這樣的測量，其結果就會很明顯了：星系的質量造成了空間的明顯彎曲。 羅巴切夫斯基假設過一點可以做一條以上的直線與已知直線平行，另一位數學家黎曼則假設無法作這樣的平行線，創立了黎曼非歐幾何。他把情況推廣到n維中去，徹底奠定了非歐幾何的基礎。更重要的是，他的體係被運用到物理中去，並最終孕育了20世紀最傑出的科學巨構——廣義相對論。 五 玻姆的隱變量理論是德布羅意導波的一個增強版，只不過他把所謂的“導波”換成了“量子勢”（quantum potential）的概念。在他的描述中，電子或者光子始終是一個實實在在的粒子，不論我們是否觀察它，它都具有確定的位置和動量。但是，一個電子除了具有通常的一些性質，比如電磁勢之外，還具有所謂的“量子勢”。這其實就是一種類似波動的東西，它按照薛定諤方程發展，在電子的周圍擴散開去。但是，量子勢所產生的效應和它的強度無關，而只和它的形狀有關，這使它可以一直延伸到宇宙的盡頭，而不發生衰減。 在玻姆理論裡，我們必須把電子想像成這樣一種東西：它本質上是一個經典的粒子，但以它為中心發散出一種勢場，這種勢瀰漫在整個宇宙中，使它每時每刻都對周圍的環境瞭如指掌。當一個電子向一個雙縫進發時，它的量子勢會在它到達之前便感應到雙縫的存在，從而指導它按照標準的干涉模式行動。如果我們試圖關閉一條狹縫，無處不在的量子勢便會感應到這一變化，從而引導電子改變它的行為模式。特別地，如果你試圖去測量一個電子的具體位置的話，你的測量儀器將首先與它的量子勢發生作用，這將使電子本身發生微妙的變化，這種變化是不可預測的，因為主宰它們的是一些“隱變量”，你無法直接探測到它們。 玻姆用的數學手法十分高超，他的體系的確基本做到了傳統的量子力學所能做到的一切！但是，讓我們感到不舒服的是，這樣一個隱變量理論始終似乎顯得有些多餘。量子力學從世紀初一路走來，諸位物理大師為它打造了金光閃閃的基本數學形式。它是如此漂亮而簡潔，在實際中又是如此管用，以致於我們覺得除非絕對必要，似乎沒有理由給它強迫加上笨重而醜陋的附加假設。玻姆的隱函數理論複雜繁瑣又難以服眾，他假設一個電子具有確定的軌跡，卻又規定因為隱變量的擾動關係，我們絕對觀察不到這樣的軌跡！這無疑違反了奧卡姆剃刀原則：存在卻絕對觀測不到，這和不存在又有何分別呢？難道，我們為了這個世界的實在性，就非要放棄物理原理的優美、明晰和簡潔嗎？這連愛因斯坦本人都會反對，他對科學美有著比任何人都要深的嚮往和眷戀。事實上，愛因斯坦，甚至德布羅意生前都沒有對玻姆的理論表示過積極的認同。 更不可原諒的是，玻姆在不惜一切代價地地恢復了世界的實在性和決定性之後，卻放棄了另一樣同等重要的東西：定域性（Locality）。定域性指的是，在某段時間裡，所有的因果關係都必須維持在一個特定的區域內，而不能超越時空來瞬間地作用和傳播。簡單來說，就是指不能有超距作用的因果關係，任何信息都必須以光速這個上限而發送，這也就是相對論的精神！但是在玻姆那裡，他的量子勢可以瞬間把它的觸角伸到宇宙的盡頭，一旦在某地發生什麼，其信息立刻便傳達到每一個電子耳邊。如果玻姆的理論成立的話，超光速的通訊在宇宙中簡直就是無處不在，愛因斯坦不會容忍這一切的！ 但是，玻姆他的確打破了因為馮諾伊曼的錯誤而造成的堅冰，至少給隱變量從荊棘中艱難地開闢出了一條道路。不管怎麼樣，隱變量理論在原則上畢竟是可能的，那麼，我們是不是至少還保有一線希望，可以發展出一個完美的隱變量理論，使得我們在將來的某一天得以同時擁有一個確定、實在，而又擁有定域性的溫暖世界呢？這樣一個世界，不就是愛因斯坦的終極夢想嗎？ 1928年7月28日，距離量子論最精彩的華章——不確定性原理的譜寫已經過去一年有餘。在這一天，約翰?斯圖爾特?貝爾（John Stewart Bell）出生在北愛爾蘭的首府貝爾法斯特。小貝爾在孩提時代就表現出了過人的聰明才智，他在11歲上向母親立志，要成為一名科學家。 16歲時貝爾因為尚不夠年齡入讀大學，先到貝爾法斯特女王大學的實驗室當了一年的實習工，然而他的才華已經深深感染了那裡的教授和員工。一年後他順理成章地進入女王大學攻讀物理，雖然主修的是實驗物理，但他同時也對理論物理表現出非凡的興趣。特別是方興未艾的量子論，它展現出的深刻的哲學內涵令貝爾相當沉迷。 貝爾在大學的時候，量子論大廈主體部分的建設已經塵埃落定，基本的理論框架已經由海森堡和薛定諤所打造完畢，而玻爾已經為它作出了哲學上最意味深長的詮釋。 20世紀物理史上最激動人心的那些年代已經逝去，沒能參予其間當然是一件遺憾的事，但也許正是因為這樣，人們得以稍稍冷靜下來，不致於為了那偉大的事業而過於熱血沸騰，身不由己地便拜倒在尼爾斯?玻爾那幾乎不可抗拒的個人魔力之下。貝爾不無吃驚地發現，自己並不同意老師和教科書上對於量子論的正統解釋。海森堡的不確定性原理——它聽上去是如此具有主觀的味道，實在不討人喜歡。貝爾想要的是一個確定的，客觀的物理理論，他把自己描述為一個愛因斯坦的忠實追隨者。 畢業以後，貝爾先是進入英國原子能研究所（AERE）工作，後來轉去了歐洲粒子中心（CERN）。他的主要工作集中在加速器和粒子物理領域方面，但他仍然保持著對量子物理的濃厚興趣，在業餘時間裡密切關注著它的發展。 1952年玻姆理論問世，這使貝爾感到相當興奮。他為隱變量理論的想法所著迷，認為它恢復了實在論和決定論，無疑邁出了通向那個終極夢想的第一步。這個終極夢想，也就是我們一直提到的，使世界重新回到客觀獨立，優雅確定，嚴格遵守因果關係的軌道上來。貝爾覺得，隱變量理論正是愛因斯坦所要求的東西，可以完成對量子力學的完備化。然而這或許是貝爾的一廂情願，因為極為諷刺的是，甚至愛因斯坦本人都不認同玻姆！ 不管怎麼樣，貝爾準備仔細地考察一下，對於德布羅意和玻姆的想法是否能夠有實際的反駁，也就是說，是否真如他們所宣稱的那樣，對於所有的量子現像我們都可以拋棄不確定性，而改用某種實在論來描述。 1963年，貝爾在日內瓦遇到了約克教授，兩人對此進行了深入的討論，貝爾逐漸形成了他的想法。假如我們的宇宙真的是如愛因斯坦所夢想的那樣，它應當具有怎樣的性質呢？要探討這一點，我們必須重拾起愛因斯坦昔日與玻爾論戰時所提到的一個思想實驗——EPR佯謬。 要是你已經忘記了EPR是個什麼東西，可以先複習一下我們史話的8-4。我們所描述的實際上是經過玻姆簡化過的EPR版本，不過它們在本質上是一樣的。現在讓我們重做EPR實驗：一個母粒子分裂成向相反方向飛開去的兩個小粒子A和B，它們理論上具有相反的自旋方向，但在沒有觀察之前，照量子派的講法，它們的自旋是處在不確定的疊加態中的，而愛因斯坦則堅持，從分離的那一刻起，A和B的狀態就都是確定了的。 我們用一個矢量來表示自旋方向，現在甲乙兩人站在遙遠的天際兩端等候著A和B的分別到來（比方說，甲在人馬座的方向，乙在雙子座的方向）。在某個按照宇宙標準時間所約好了的關鍵時刻（比方說，宇宙歷767年8月12日9點整，聽起來怎麼像銀英傳，呵呵），兩人同時對A和B的自旋在同一個方向上作出測量。那麼，正如我們已經討論過的，因為要保持總體上的守恆，這兩個自旋必定相反，不論在哪個方向上都是如此。假如甲在某方向上測量到A的自旋為正（＋），那麼同時乙在這個方向上得到的B自旋的測量結果必定為負（－）！ 換句話說，A和B——不論它們相隔多麼遙遠——看起來似乎總是如同約好了那樣，當A是＋的時候B必定是－，它們的合作率是100％！在統計學上，拿稍微正式一點的術語來說，（A＋，B－）的相關性（correlation）是100％，也就是1。我們需要熟悉一下相關性這個概念，它是表示合作程度的一個變量，假如A和B每次都合作，比如A是＋時B總是－，那麼相關性就達到最大值1，反過來，假如B每次都不和A合作，每當A是＋是B偏偏也非要是＋，那麼（A＋，B－）的相關率就達到最小值－1。當然這時候從另一個角度看，（A＋，B＋）的相關就是1了。要是B不和A合作也不有意對抗，它的取值和A毫無關係，顯得完全隨機，那麼B就和A並不相關，相關性是0。 在EPR裡，不管兩個粒子的狀態在觀測前究竟確不確定，最後的結果是肯定的：在同一個方向上要么是（A＋，B－），要么是（A－，B＋），相關性是1。但是，這是在同一方向上，假設在不同方向上呢？假設甲沿著x軸方向測量A的自旋，乙沿著y軸方向測量B，其結果的相關率會是如何呢？冥冥中一絲第六感告訴我們，決定命運的時刻就要到來了。 實際上我們生活在一個3維空間，可以在3個方向上進行觀測，我們把這3個方向假設為x，y，z。它們並不一定需要互相垂直，任意地取便是。每個粒子的自旋在一個特定的方向無非是正負兩種可能，那麼在3個方向上無非總共是8種可能（把每個方向想像成一根爻，那麼組合結果無非是8個卦）。 xyz - - - - - - - - - - - - 對於A來說有8種可能，那麼對於A和B總體來說呢？顯然也是8種可能，因為我們一旦觀測了A，B也就確定了。如果A是（＋，＋，－），那麼因為要守恆，B一定是（－，－，＋）。現在讓我們假設量子論是錯誤的，A和B的觀測結果在分離時便一早注定，我們無法預測，只不過是不清楚其中的隱變量究竟是多少的緣故。不過沒關係，我們假設這個隱變量是H，它可以取值1－8，分別對應於一種觀測的可能性。再讓我們假設，對應於每一種可能性，其出現的概率分別是N1，N2……一直到N8。現在我們就有了一個可能的觀測結果的總表： Ax Ay Az Bx By Bz 出現概率 - - - N1 - - - N2 - - - N3 - - - N4 - - - N5 - - - N6 - - - N7 - - - N8 上面的每一行都表示一種可能出現的結果，比如第一行就表示甲觀察到A在x，y，z三個方向上的自旋都為＋，而乙觀察到B在3個方向上的自旋相應地均為－，這種結果出現的可能性是N1。因為觀測結果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，這個各位都可以理解吧？ 現在讓我們運用一點小學數學的水平，來做一做相關性的練習。我們暫時只察看x方向，在這個方向上，（Ax＋，Bx－）的相關性是多少呢？我們需要這樣做：當一個記錄符合兩種情況之一：當在x方向上A為＋而B同時為－，或者A不為＋而B也同時不為－，如果這樣，它便符合我們的要求，標誌著對（Ax＋，Bx－）的合作態度，於是我們就加上相應的概率。相反，如果在x上A為＋而B也同時為＋，或者A為－而B也為－，這是對（Ax＋，Bx－）組合的一種破壞和抵觸，我們必須減去相應的概率。 從上表可以看出，前4種可能都是Ax為＋而Bx同時為－，後4種可能都是Ax不為＋而Bx也不為－，所以8行都符合我們的條件，全是正號。我們的結果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所以（Ax＋，Bx－）的相關是1，這毫不奇怪，我們的表本來就是以此為前提編出來的。如果我們要計算（Ax＋，Bx＋）的相關，那麼8行就全不符合條件，全是負號，我們的結果是－N1－N2－…－N8＝－1。 接下來我們要走得遠一點，A在x方向上為＋，而B在y方向上為＋，這兩個觀測結果的相關性是多少呢？現在是兩個不同的方向，不過計算原則是一樣的：要是一個記錄符合Ax為＋以及By為＋，或者Ax不為＋以及By也不為＋時，我們就加上相應的概率，反之就減去。讓我們仔細地考察上表，最後得到的結果應該是這樣的，用Pxy來表示： Pxy＝－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8 嗯，蠻容易的嘛，我們再來算算Pxz，也就是Ax為＋同時Bz為＋的相關： Pxz＝－N1＋N2－N3＋N4＋N5－N6＋N7－N8 再來，這次是Pzy，也就是Az為＋且By為＋： Pzy＝－N1＋N2＋N3－N4－N5＋N6＋N7－N8 好了，差不多了，現在我們把玩一下我們的計算結果，把Pxz減去Pzy再取絕對值： Pxz－Pzy ＝ －2N3＋2N4＋2N5－2N6 ＝2 N3＋N4－N5－N6 這裡需要各位努力一下，超越小學數學的水平，回憶一下初中的知識。關於絕對值，我們有關係式x－y ≤ x ＋ y ，所以套用到上面的式子裡，我們有： Pxz－Pzy ＝2 N3＋N4－N5－N6 ≤2（ N3＋N4 ＋ N5＋N6 ） 因為所有的概率都不為負數，所以2（ N3＋N4 ＋ N5＋N6 ）＝2（N3＋N4＋N5＋N6）。最後，我們還記得N1＋N2＋... N8＝1，所以我們可以從上式中湊一個1出來： 2（N3＋N4＋N5＋N6）＝1＋（－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8） 看看我們前面的計算，後面括號裡的一大串不正是Pxy嗎？所以我們得到最終的結果： Pxz－Pzy ≤1＋Pxy 恭喜你，你已經證明了這個宇宙中最為神秘和深刻的定理之一。現在放在你眼前的，就是名垂千古的“貝爾不等式”。它被人稱為“科學中最深刻的發現”，它即將對我們這個宇宙的終極命運作出最後的判決。 （我們的證明當然是簡化了的，隱變量不一定是離散的，而可以定義為區間λ上的一個連續函數。即使如此，只要稍懂一點積分知識也不難推出貝爾不等式來，各位有興趣的可以動手一試。）