第6章 第五章天體的和聲

從很多方面看，數學都是最精確、最複雜的一門科學——至少，作為一位數學家，我是這樣認為的。對數學的發展的描述，使我既局促不安，又特別高興，因為數學歷來都是人類無窮思索的一部分：在人類知識的上升歷程中，數學是通向神奇而又理智的思維的階梯。不過，任何有關數學的描述，似乎都應包括以下這些概念：論證的邏輯性概念，關於自然界（特別是關於空間）確鑿規律的經驗性概念，各種運算概念的形成，以及數學從對自然的靜態描述到動態描述的發展。這些便是本章的主題。 即便是非常原始的民族也有某種數字體系；他們也許不會數到四以上，但他們知道，任何東西中的兩個加上同一種東西的另外兩個，不是有時而是永遠等於四。從這一基本點出發，許多文化形態都建立了自己的數字體系，通常是一種規則大致相近的書面語言。例如。

儘管巴比倫人、瑪雅人，印度人生活的時間和空間相去甚遠，但他們卻創造了基本相同的書寫大數字的方法，即把大數字寫成我們今天使用的位數序列。 因此，在歷史上，沒有哪個地點和哪個時刻，可以讓我站在那裡說：“算術開始於此時此地。”在每一種文化中，人們從學會互相交談的時候起，便開始計數了。算術和語言一樣，始於傳說時代。可是，我理解的用數字進行推論的數學則是另一回事。正是為了在傳說與歷史的交接點上尋求數學的起源，我才乘船來到薩摩斯島（samos）。 傳說時代，薩摩斯島是希臘人祭祀天后赫拉（Hera，the Queenof Heaven）——即宙斯（zeus）的合法（但愛妒忌）的妻子的一個中心。赫拉的神廟，那赫拉倫廟的遺跡可以追溯到公元前6世紀。在大約公元前580年時，希臘數學的第一位天才和奠基人畢達哥拉斯出生在薩摩斯島上。在他生活的年代，薩摩斯島落入了僭主波利克拉特斯（Polycrates）手中。

據傳說，畢達哥拉斯在逃離薩摩斯之前，曾在島上山中一個白石岩洞里傳道授業，這個岩洞至今仍是那些相信這一傳說的人們參拜的地方。 薩摩斯是一個神奇迷人的島嶼。大海的濤聲，樹林的低語，音樂的奏鳴，隨處可聞。雖然別的希臘島嶼也可作為莎士比亞名劇《暴風雨》（The Tempest）的外景，但在我看來，薩摩斯才是普洛斯彼羅（Prospero）住過的那種島嶼，正是在這樣的海岸上，這位學者變成了魔法師。畢達哥拉斯對他的門徒來說，大概也可算是一位魔法師吧，因為他教導他們，自然界是受數字支配的。他說，大自然是和諧的，在她的千變萬化中有一種統一性，大自然也有自己的語言：數便是大自然的語言。 畢達哥拉斯發現，在音樂的和聲和數學之間，有著一種基本的聯繫。有關他這一發現的故事，正像民間傳說一樣，是經過竄改後留傳下來的。但他的發現卻是千真萬確的。一根繃緊的琴弦在整個兒震顫時產生出一個基音。把琴弦精確地劃分為幾等份，就會產生與這個基音和諧一致的音：可以把弦的長度準確地分為兩等份、三等份、四等份，如此等等，如果琴弦的靜止點，即所謂波節（node），沒有落在等分點上，奏出的音就會走調。當我們在琴弦上移動波節時，如果移動到確定的等分點上，我們就會聽到和諧悅耳的音調。撥一撥或拉一拉空弦：這就是基音。將波節移至弦的中心點：這就是高出基音八度的音。將波節移至弦的1/3處：這就是高出基音的第五度音。將波節移至1/4處：這就是高出基音的第四度音。如果將波節移至琴弦的1/5處（畢達哥拉斯沒有做到），這就是大調第三度音。

畢達哥拉斯發現，悅耳動聽——悅西方人之耳——的和聲，與用整數對琴弦的劃分相對應。對畢達哥拉斯學派來說，這一發現有某種神奇的力量。自然與數之間的這種和諧一致竟是如此具有說服力，以致他們完全相信，不僅自然界的各種聲音，就連自然界所特有的各種維和度，都肯定是一些能表現這種和諧的簡單數，例如、畢達哥拉斯本人或他的追隨者們相信，把各個天體與各種音程聯繫起來，就可以計算出這些天體的軌道（希臘人把這些天體描繪為在水晶般透明的天空中繞地球運動）。他們感到，自然界的一切規則都是和諧的；在他們看來，天體的運動，就是天體的和聲。 這些思想使畢達哥拉斯享有一位哲學先知的地位，簡直可說是一位宗教領袖，他的信徒們組成了一個秘密的、也許是革命性的派別。很可能，畢達哥拉斯後來的信徒中有很多人是奴隸，他們相信靈魂轉生，這大概是他們希望死後能過上更為幸福的生活的一種表現方式吧。

我一直在談論數字的語言——算術，但我的最後一個例子卻是幾何形狀的天體。話題的改變並不是偶然的。展現在我們眼前的自然界形態萬千：一道波紋，一個晶體，人的血肉之軀，而正是我們人類不得不去領悟和找出這中間的數的關係。畢達哥拉斯是將幾何學與算術相結合的先驅，這剛好也是我所選擇的一個數學分支，因此看一看畢達哥拉斯在這方面做了些什麼，倒是很合適的。 畢達哥拉斯在證明了音響世界是由精確的數支配的之後，又繼續證明，視覺世界的情形也無不如此。這是一個非凡的成就。我看看自己的周圍；我的確是在這裡，在希臘神奇如畫的風景中，在這蠻荒的大自然的萬千形態中，在俄耳甫斯小山谷和大海之濱。在這美麗動人的渾沌中，哪裡有那簡單的數字結構呢？

這個問題使我們不得不回顧人類關於自然法則的認識中那些最為原始而永恆的觀念。很清楚，要很好地回答這個問題，我們必須從人類的普遍經驗開始。人類的視覺世界建立在兩種經驗之上：重力線是垂直的，水平線與它成直角相交。而正是二者的相交，或我們所看到的這些十字標線確定了直角的性質；於是，如果我把這個憑經驗認定的直角（向下、向兩側）轉動四次，我就又回到了原先的垂直線與水平線相交的位置。直角的定義就是由這樣的四次轉動決定的，而且由此區別乾其它任何一種角。 在視覺世界中，在我們的眼睛所看到的垂直平面圖上，如果一個角轉動四次後又回到原來的位置這個角就可以定義為直角。在經驗的水平世界裡，即我們在其間活動的世界裡，這一定義同樣成立。試設想一個這樣的世界，一個有平坦的大地的世界。還有地圖。以及羅盤上的羅經點。從這裡，我向正南方的薩摩斯與小亞細亞之間的海峽望去。我用一塊三角形瓦塊作指針，讓它指向正南方。 （我把這個指針做成直角三角形，是因為我要用它作四次直角邊靠直角邊的轉動。）如果我把這個三角形瓦塊轉動一個90度，它就指向正西方。再轉動一個90度，它就指向正北方。轉動第三個90度，它就指向正東方。最後，轉動第四個90度，它就又指向正南方了，即指向它開初所指的小亞細亞方向。

不僅我們所體驗的自然界，而且連同我們所建造的這個世界，都是建立在這樣一種關係的基礎之上的。自從巴比倫人建造空中花園（the Hanging Garden）以來，也許更早一些，即從埃及人建造金字塔以來就是如此。從某種實踐的意義上說，這些文化形態已經知道，有一種工匠使用的三角板，就是按照這種數的關係來構成直角的。早在公元前2000年，巴比倫人就知道很多、也許是幾百個表示這種數的關係的公式。印度人和埃及人也知道一些這類公式。埃及人似乎總是使用一種其三角形邊長比例為3：4：5的三角板。但是,，直到公元前550年前後，才由畢達哥拉斯把這一知識從經驗數據的範疇上升到我們今天所說的論證的範疇。他提出了這樣一個問題：“直角可以在轉動四次後又回到原來的位置；那麼，構成工匠們用的三角板各邊之間的數的關係義是怎樣從這一事實中得出來的呢？”

我們認為，他的論證是這樣的（與教科書中講的論證方法不同），一個正方形的四個角，就是構成羅盤的十字交叉線的四個三角形的四個主方位——東南西北。我移動這四個直角三角形，使每個三角形的斜邊與相鄰角的主方位會合。這樣，我就用四個直角三角形的斜邊構成了一個正方形。因此我們還應該知道哪些是這四個直角三角形所佔據的面積，哪些不是，我再用一小塊瓦把中間未被三角板蓋住的小正方形填上。 （我使用瓦塊，是因為在羅馬，在東方，瓦的許多形狀都是從這種數學關係與人類對自然的思考的完美結含中產生出來的）。 現在，我們得到一個由四個直角三角形斜邊組成的正方形。我們完全可以通過計算把這個正方形與由直角邊組成的兩個正方形之間的關係表示出來。但是，這樣就會看不到這一圖形的自然結構及其深刻含意。我們不需要任何計算。一種孩子們和數學家們常玩的小遊戲將比計算揭示更多的道理。把兩個三角形的位置重新交換一下。移動指向南方的三角形，使它的斜邊與指向北方的三角形的斜邊相鄰。然後移動指向東方的三角形，使它的斜邊與捐向西方的三角形的斜邊相鄰。

現在，我們得到了一個面積不變、形狀像“匚”的多邊形，（當然面積不變，因為這個圖形是由同樣幾個直角三角形構成的），我們一眼就可以看出，這個多邊形的邊，就是直角三角形的直角邊。讓我把這個“匸形圖案的構成表示出來：從上到下畫一條線，把這個多邊形的上部和底部分開。很明顯，底部是一個由直角三角形較短的那條直角邊構成的正方形；而“匸”多邊形的上部也是一個正方形，它的邊是較長的那條直角邊。 畢達哥拉斯就是這樣論證了這一普遍定理：不僅適用於埃及的各邊比例為3：4：5的三角形，或任何巴比倫人的三角形，而且也適用於任何一個直角三角形。他還證明了，只要是直角三角形，以斜邊為邊長的正方形面積等於以另外兩條邊構成的正方形面積之和。例如，邊長分別為3：4：5的三個邊可以構成一個直角三角形，因為52＝5x5=25=16+9＝4X4十3X3=42十32巴比倫人發現的三角形各邊長度的比例關係也是如此，無論是簡單如8：15：17，或是大得驚人的3367：3356：4825，其比例關係不變。毫無疑問，他們當時已相當精通算術。

迄今為止，畢達哥拉斯的這條定理在整個數學領域中仍然是最重要的一條定理。這樣說似乎有些大膽而離奇，但卻並不過份；因為畢達哥拉斯所創建的理論是對我們在其中活動的空間的一種基本概括，也是第一次用數的關係來解釋空間。一定的適當的數描述了那制約宇宙萬物的確切規律。事實上，已經有人提議把構成直角三角形的數的關係作為發往其它星系的行星的信息，以試探那裡是否也有智慧生物存在。 重要的一點是，按照我的論證方式，畢達哥拉斯的這條定理還闡明了平面空間的對稱關係；直角就是把平面分成四等份的對稱元。如果平面空間還有另外一種不同的對稱關係，這條定理就不能成立，而對於特殊三角形的各邊的另外一種關係來說，還是成立的。即使空間（像空氣一樣）是看不見的，但它也和物質一樣，是自然界的重要組成部分，這是幾何學研究的問題。對稱不僅涉及一種描述方法的精巧；如同畢達哥拉斯的具它思想一樣，還深入到了自然界的和諧性。

畢達哥拉斯在論證了這條偉大定理之後，他向繆斯女神（theMuses）獻祭了100頭公牛，來感謝女神們給他的靈感與啟示。這是一種自豪與謙卑合二為一的舉動，正如當數字關係相互吻合併且表明“這是自然結構的一部分，是解開自然結構之謎的一把鑰匙”時，即使到了今天，每位科學家也都會有同樣的感受。 畢達哥拉斯是一位哲學家，在他的信徒們眼中，他又差不多是一位宗教人物。事實上，他頗受亞洲文化的影響，這種影響貫穿在整個希臘文化之中，卻又往往被我們忽略。人們總喜歡把希臘看作是西方的一部分；但是，古代希臘的邊緣地區，薩摩斯島，距離小亞細亞海岸僅有一英里。許多對古希臘有深刻影響的思想，最初就是從這里傳入的，而令人始料不及的是，這些思想在若干世紀之後，在傳入歐洲以前，又傳回亞洲。 知識的傳播令人驚嘆，在我們看來是時間上的突飛猛進，事實上卻往往需要經過從一個地方到另一個地方，從一座城市到另一座城市的長途跋涉。商隊在運送商品時帶去了他們本國的貿易方式——度量衡制和計帳方法——同時也把技術和思想傳遍亞洲和北非，傳到他們所到過的一切地方。作為許多例子之一，畢達哥拉斯的數學理論也不是直接傳給我們的。它激發了希臘人的想像力，不過，使它成為一種嚴謹的體系的地方卻是這座尼羅河城市——亞歷山大城（Alexandria）。 使數學這門學問系統化並聲名大振的人是歐幾里得（Eucilid），他於公元前約300年把這一理論體繫帶到了亞歷山大城。 顯然，歐幾里得繼承了畢達哥拉斯學派的傳統。傳說當一位聽眾問他某一條定理有什麼實際用途時，他輕蔑地對他的奴隸說：“他想從學問中撈到點兒好處——給他一個小錢。” 這句指責之辭大概是從畢達哥拉斯學派同盟的一句箴言改編過來的，那句箴言大體可以譯為“一個圖解就是一個進步，而不是一個圖解即一個小錢”——“一個進步”就是指人類知識的一個進步，或者如我所說，是人類的上升。 歐幾里得是數學推理的典範，其影響巨大而又深遠。在流傳至今的書籍中，除了《聖經》，他的《幾何原本》（Elementsof Geometry ）一書，在譯成外文的種類和印行的數量上都是首屈一指的。第一位教我數學的老師在引用幾何定理時，連數字都是沿用歐幾里得用過的數字；這在50年前也並非罕見之事，而且是引經據典的標準方式。當約翰?奧布里（John Aubrey）在寫到托馬斯?霍布斯（Thomas Hobbes）人到中年突然“愛上幾何學”與哲學的時候，他解釋說，霍布斯在“一位紳士的書房裡”偶然看到一本“歐幾里得的《幾何原本》，這本書正好翻到第1卷，命題第47。”歐幾里得《幾何原本》第1卷的命題第47就是畢達哥拉斯的這條著名定理。 大約在耶穌誕生前後的幾個世紀裡，人們在亞歷山大城從事的另一門科學是天文學。我們又一次從傳說故事的字裡行間抓住了歷史的發展動向。 《聖經》上說，有三位智者追隨一顆明星走到伯利恆（Bethlehem），這時，從這個故事裡，我們又一次聽到一個遠古時代的迴聲，那時的先賢哲人就是星象的觀察者。遠古時代先賢哲人們所探求的日月星辰之謎，終於被一位在公元150年前後在亞歷山大城從事研究的名叫克勞迪斯?托勒密（Claudiusptolemy）的希臘人解答了。他的著作的阿拉伯文本傳到了歐洲，而希臘文原版卻散失殆盡，有些是在公元389年基督教狂熱分子掠奪亞歷山大大圖書館時散失的，另外一些則是在黑暗的中世紀席捲東地中海地區的歷次戰亂和入侵中丟失的。 托勒密構造的天體模型複雜得出奇，不過，整個模型還是從一種簡單的類比開始的。月球圍繞地球旋轉；顯然，托勒密認為，太陽和行星也同樣如此。 （古人把月球和太陽看作行星。）希臘人相信，圓周是運動的完美形式，於是托勒密也讓這些行星作圓周運動，或者讓行星在圍繞另一個圓周旋轉的圓周上轉動。在我們看來，這些圓和周轉圓的圖式似乎過分簡單而又矯揉造作。但是，事實上，這一體系在當時卻是一種美妙動人而又切實可行的發明，它體現了整個中世紀阿拉伯人和基督徒的一種信念。這一體系持續了1400年之久，遠遠超過任何更為晚近的科學理論在不作重大改動的情況下所能延續的時間。 在這裡，思考一下為什麼天文學發展如此之早，如此精密，而且實際上成為整個自然科學的原型這樣一個問題是合乎時宜的。在所有自然科學中，日月星辰必定是最不可能引起人類無窮好奇心的自然物。而人體本身應當是早期的系統研究恰當得多的對象。那麼，為什麼天文學竟在醫學之前發展成為第一門科學？為什麼醫學本身在搶救病人生命時，還要求諸星象，以預卜凶吉禍福呢？ ——難道占星術的魔力竟使人放棄把醫學作為一門科學嗎？我認為，一個主要的原因是，人們觀察到的日月星辰的運行被證明是可以計算出來的，而且，很早以來（也許早在公元前300年的巴比倫），人們就將這些星辰的運動納入數學運算範疇了。天文學之所以出類撥萃，成績斐然，是因為它具有可以用數學方法加以研究的特點，而物理學的，以及最近的生物學的長足進步。也同樣是取決於它們找到了自身規律的公式，而這些公式都是可以用數學的模式來表示的。 思想的傳播往往需要某種新的推動力，公元600年，伊斯蘭教的創立就是這樣一種新的、強大的推動力，它開初只是一種地方性活動，後果如何，未能逆料；但是，當公元630年穆罕默德（Mahomet）一旦征服了麥加（Mecca），伊斯蘭教就如疾風驟雨，席捲整個南方世界。在100年內，伊斯蘭教佔據了亞歷山大城，又在巴格達（Baghdad）建立了一座宏大的學術城，並把它的邊界推進到波斯的伊斯法罕（Isfahan）以東地區。到了公元730年，這個穆斯林帝國的版圖從西班牙和法國南部開始，一直擴展到中國和印度交界的地方：這真是一個力量無比強大、堂而皇之的帝國，而在這時，歐洲卻正處在中世紀的黑暗時代。 在這宗教的征服過程中，被征服民族的科學知識被人們以一種掠奪狂式的熱情加以蒐集。與此同時，從前被人視若等閒的簡單的、地方性的技藝得到某種複蘇。例如，用於建造最早的圓頂清真寺的器械並非什麼複雜的玩意兒，不過是古代工匠使用的三角板——這種工具至今為人們沿用。位於伊斯法罕的“星期五清真寺”（Masjid-i-Jomi）就是早期伊斯蘭教的宏偉的歷史遺蹟之一。在諸如此類的中心，希臘和東方的知識受到珍視，被廣泛吸收，並不斷豐富起來。 穆罕默德歷來堅信，伊斯蘭教不應成為一種崇尚奇蹟的宗教，從它富於理智的內容上看，伊斯蘭教已成為一種冥想與分析的形式。穆罕默德教義的著作家使神非人格化和程式化：伊斯蘭教的神秘主義不在於血和酒、肉和麵包，而是一種超脫塵世的出神入化。 安拉是天地之光。他的光照可比作放在壁龕中的一盞明燈，這盞燈罩在一個如星光般燦爛的水晶球中，交相輝映。在安拉己認可的、為紀念他的偉名而修建的寺廟中，人們從早到晚讚美他，不善經商或未能獲利的人因牢記安拉而時來運轉。 星盤（astrolabe）本來是希臘人的一項發明，伊斯蘭教徒將這種星盤加以改進，精心製作，廣為傳播。作為一種天文觀測裝置，這種星盤仍很原始，它只能粗略地計算太陽或某個星體的黃緯（the elevation）。但是，將一幅或幾幅星像圖配合進行這種簡單的觀測，就可使用星盤進行一種程序複雜的計算，測定緯度、日出和日落、祈禱時間以及為香客測定去麥加朝覲的方向。和星像圖不同，星盤上刻有占星術和宗教的圖飾。令人感到一種神秘的慰籍。 在很長一段時間內，這種星盤好似世人常用的懷錶和滑尺。 1391年，詩人杰弗裡.喬臾（Geoffrey Chaucer）寫了一本教他兒子使用星盤的入門書，他是從8世紀的一位阿拉伯天文學家那裡抄錄來的。 對摩爾學者來說，計算是一種無窮的樂趣。他們喜歡計算難題，樂於尋求解決這些難題的獨創方法，有時，他們還把自己的方法發展為機械裝置。一種比星盤更為精巧的輕便計算器，即所謂的占星術或天文學計算器，有點像自動日曆，就是在13世紀巴格達的哈里發帝國（Caliphate）製造的。它的運算原理並不深奧，只不過是一種可用來預報時日的組合式日晷，但它卻是700年前那些工匠們高超的機械製造技藝的一個明證，也是他們熱衷於玩弄數學遊戲的一個明證。 那些勤勉好學、孜孜以求、寬容忍讓的阿拉伯學者從遙遠的地方帶來的一項最重要的發明就是數字書寫方法。那時，歐洲採用的表示數字的符號仍是笨拙的羅馬字，書寫數字是把羅馬字簡單地相加，拼湊而成：例如，1825寫成MDCCCXXV，因為M等於1000，D等於500，C加C加C等於100＋100＋100，XX等於10＋10，而V等於5。而伊斯蘭國家則以我們今天仍稱為“阿拉伯數字”的現代十進位制記數法取而代之。 不過，一種用位數表示數量的數字體系一定要能夠表示零位數。這種阿拉伯記數方法需要創造一個表示零的符號。在這一頁手稿上，表示零的符號出現了兩次；在出現得更多，看上去很像我們今天使用的符號。 “Zero”和“Cipher”（零，無）就是兩個阿拉伯字；而“algebra”（代數），“almanac”（年曆、年鑑），“Zenitth”（天頂），以及數學和天文學上的另外10多個詞也是阿拉伯語詞。在大約公元750年時，阿拉伯人從印度傳入十進位制。那以後又過了500年，十進位制才在歐洲通行。 大概由於這個摩爾人帝國廣被千里，它成了一個知識的集市。帝國的學者既有東方的異端聶斯脫利派教徒（NestorianChristians），也有西方的異端猶太教徒（Jews）。儘管伊斯蘭教力求改變人們的宗教信仰，卻從不輕視他們的知識，這或許是伊斯蘭教的一種宗教品質吧。在東方，伊斯法罕這座波斯古城就是它的紀念豐碑。在西方，也留下了一座堪與波斯城媲美的遺址，這就是西班牙南部的艾勒汗卜拉宮。 從外面看上去，艾勒汗卜拉宮是一座威嚴冷酷的方形要塞，看不出絲毫阿拉伯風格。但從內部來看，它卻不是什麼要塞，而是一座宮殿，一座精心設計、向世人預示極樂世界的宮殿。這座艾勒汗卜拉宮是一座晚期建築。它體現了一個帝國在平靜——如它所認為的——而安全地度過它的極盛時期之後的那種懶散與閒適。而一向崇尚冥思默想的宗教也變得越來越沉緬於感官刺激和自我陶醉了。官殿裡流水漏漏，那碧波粼粼的流水形象幾乎貫穿於全部阿拉伯音樂的旋律之中，儘管這些音樂都是以畢達哥拉斯的弦長比數為基礎的，每一座庭院都像是對一種夢境的追憶與再現，蘇丹從這些庭院中飄然而過（他不是步行，而是由人抬著走過的）。艾勒汗卜拉宮幾乎是中所描繪的天堂上界的真實寫照。 真主賜福給那些耐心工作，信奉安拉的人。那些信仰虔誠、努力行善的人將永遠住在天堂裡，河水從他們腳下滾滾流過……他們將受到尊敬，在充滿歡樂的花園裡，面對面地躺在睡榻上。一個杯子在他們中間來回傳遞，輪流享用那甘美、清徹的泉水……他們的配偶斜倚在柔軟的綠色坐墊上或美麗舒適的地毯上。 艾勒汗卜拉宮是阿拉伯文明在歐洲的最後的、也是精美絕倫的紀念遺址。最後一個摩爾人王朝在這裡一直執政到1492年，其時西班牙的伊莎貝拉（Queen Isabella）已在大力支持哥倫布的探險航行。整座宮殿由許多蜂窩狀的庭院和廂房組成。宮中最隱秘的地方是沙拉德那什（Sala de las camas）。后宮的年輕姑娘們沐浴之後來到這裡，一絲不掛地躺著，盲人樂師在長廊上吹拉彈唱，宦官輕輕走進走出。蘇丹高高在上，觀賞作樂，把一隻蘋果扔給他選中的姑娘，示意要與她共度良宵。 按照西方的文明習俗，這樣一個房間應該掛滿優美的女人裸體色情畫。但這兒卻不是這樣。伊斯蘭教禁止描繪人體，甚至人體解剖研究也完全被禁止，這正是穆斯林科學發展的一個主要障礙。因此，我們在這裡只看到一些顏色鮮豔而又異常簡單的幾何形紋飾。在阿拉伯文明中，藝術家和數學家合而為一。我這樣說並不誇張。這些圖案表明，阿拉伯人在研究空間本身的微妙和對稱性方面，即我們今天稱為歐幾里得空間方面，已達到相當高的水平。這種平面的兩維空間是畢達哥拉斯首先加以描述的。 在這大量豐富的圖案中，我就從最簡單明了的一種圖案開始吧。這種圖案的花紋是一種兩瓣葉片的重複，其中呈水平方向的是深色葉片，而呈垂直方向的是淺色葉片。這樣，平行移動（即平行地改變圖形的位置）和朝水平方向或垂直方向作反射移動，都會形成明顯的對稱關係。但是，請注意，更為微妙的一點是，阿拉伯人喜歡設計那種深色花紋和淺色花紋完全相同的圖案。於是，如果你一時忽略了色彩的異同，便會看出，當你把深色葉片轉動90度後，就轉到了相鄰的淺色葉片的位置上。然後，再次轉動，又轉到了另一個葉片的位置上，最後回到原先的位置。不過，在轉動葉片時，你必須始終圍繞同一個交合點旋轉。這樣你可以準確地圍繞整個圖案轉動；不管離旋轉的中心有多遠，圖案中的每個葉片都會轉到相鄰葉片的位置上。 沿水平線的反射是這種有色圖案的雙重對稱，沿垂直線的反射也是如此。而當我們將顏色置於不顧時，我們就可以看到一種四重對稱，它是由作四次90度的轉動而形成的，我已經用這種方法證明了畢達哥拉斯定理；因此，對稱的無色圖案，就成了畢達哥拉斯式的正方形。 現在我再談談一種複雜得多的圖案。這些好似被鳳吹得捲起來的四種顏色的三角形，僅僅表現了一種非常明顯的在兩個方向上的對稱關係。你可以垂直地或朝水平方向將這個圖案移動到新的、完全相同的位置。圖案中的花紋好像被風吹得捲起來似的這一點並非與本題無關。人們很難找到一種不可以反射的對稱體系。然而，這個圖案的花紋卻是不可以反射的，因為所有這些被風吹得呈卷狀的三角形都是向右轉動的，如果不讓它們朝左邊轉動，它們便不能反射。 現在，假設你不管這些三角形有綠、黃、黑、藍色之別，把它們看成只有深、淺兩色之分。那麼，你就可以看到這裡也有一種旋轉的對稱。再把你的注意力集中到交會點上，你就會看到六個三角形在這里相交，而它們的顏色則交替為深淺兩色。一個深色三角形可以轉動到下一個深色三角形的位置上，再轉到下一個的位置，最後回到它原先的位置——這是一種使整個圖素旋轉的三重對稱。 可能形成的對稱還不僅限於此。如果完全不考慮顏色的差異，那麼旋轉角度稍小一些，你就可以使一個深色三角形移到它旁邊的淺色三角形的位置上，因為這個淺色三角形與它的形狀完全相同。照這樣轉下去，依次轉到深色、淺色、深色、淺色，最後轉回到原來的深色三角形的位置——這就成了一種使整個圖案轉動的空間的六重對稱。實際上，我們大家都很熟悉這種六重對稱，因為這就是雪的晶體的那種對稱形式。 談到這裡，那些並非數學家的人們有理由發問：“怎麼？這就是數學研究的東西嗎？從前阿拉伯的教授，或者現代的數學家們就這樣在這種不及大雅的遊戲上耗費時日嗎？”對這個問題出人意料的回答是——不，這不是一種遊戲。它使我們直接面對某種我們易於忘懷的東西，即，我們生活在一種特殊的空間——三維的平坦空間——而且，這種空間的種種特性是無法突破的。在探究怎樣才能使一個圖案轉回到自己原來的位置上時，我們就正在發現那支配我們的空間的無形法則。不僅在人為製作的圖案中，而且在大自然所強加於基本的原子結構的種種規律法則中，只有特定的幾種對稱關係是我們的空間所能提供的。 包含著這類空間的自然形態的結構似乎是那些結晶體。而且，當你觀察一個人手未曾觸及的晶體——如冰洲石——時，你會十分驚奇地發現，冰洲石的表面為什麼會是規整的，這一點並不是無須證明的。這些表面為什麼會是平坦的平面，這一點也決非不言自明。晶體就是如此；人們已習慣於它們的規整和對稱，但是，為什麼會這樣？它們這個樣子，並非人力所及，而是自然的造化。這種平整的表面意味著其中的原子當初就是這樣聚合起來的——這種，或那種。這種平坦和規整是空間用力於物質所致，其結果有如我剛才分析過的，空間也賦予那種摩爾人的圖案以對稱性。 拿一塊立體的美麗的黃鐵礦石，或者拿一塊我認為美麗無比的八面體螢石（即天然金剛石）來看一看。它們的對稱性也受我們生活其中的空間的性質的製約——也就是說，受我們生活其中的空間的三維和平坦的性質的製約。而且，沒有任何原子的集合形式能夠打破這種自然的決定性法則。正如構成一種圖案的那些單元，一種晶體中的原子在各個方向上堆積重疊。因此，一種晶體，也就如同一種圖案，必定具有某種能夠在各個方向上擴展或重複自身的同一形狀。這就是一種晶體的表面只能具有特定的形狀的原因所在；就其圖案而言，只能是這樣或那樣的對稱形式。例如，旋轉一圓周，只能轉動兩次或四次，三次或六次，不會再多了。而且不會轉動五次。你不可能造成這樣一種原子的集合形式，可以使完整佔滿空間的三角形一次有五個。 思考有關這些圖案形式的問題，在實踐中窮盡了空間各種各樣可能的對稱形式（至少在兩維空間中），是阿拉伯數學的偉大成就。而且，這一成就，有長達1000年的歷史，具有無比的權威性。這些國王、裸體女人、宦宮和盲人樂師，構成了一幅奇妙而又規則的圖案，人們對其中存在的關係的探索在當時可謂盡善盡美，不過，遺憾的是，這種探索並不尋求任何變化。不到人類上升至發現某種新的動力之時，人們思想是不會有新的內容的，數學上也就不會有新的發現。 大約在公元1000年時，基督教文化開始從摩爾人從來征服過的地方，如地處狹長海岸地帶的桑蒂拉那（Santillana）村，迅速折回到西班牙北部地區。在那裡，基督教還是一種著眼於現世生活的宗教，這個村子裡的一些純樸而簡單的偶像，如牛、驢，和耶穌基督，都表明了這一點。對穆斯林的宗教信仰來說，這些動物偶像是不可思議的。而基督教不僅允許動物形象的存在，耶穌基督本人就是普通的孩子，聖母也是一個普通的婦女和人人崇拜的對象。當我們看到宗教遊行隊列舉著聖母瑪麗亞像時，我們就像置身在一個不同的世界裡：這不是抽象的圖案，而是豐富多彩的、奔放熱烈的生活。 當基督教文化重新奪回西班牙時，邊界上的鬥爭十分激烈。然而這裡的摩爾人、基督徒還有猶大人雜居在一起，創造了一種具有不同宗教信仰的不同尋常的文化，公元1085年，在托萊多（Toledo）城一度形成了這種混合文化的中心。托萊多是阿拉伯人從希臘、中東和亞洲將所有古典文獻輸入信奉基督教的歐洲的重要口岸。 我們把意大利看作文藝復興運動的發源地。但是，文藝復興的思想觀念在12世紀時就已在西班牙形成了，這方面的重要標誌與表現是托萊多的著名譯書館，在這裡，大批古代典籍從古希臘文（歐洲早已忘記了這種文字），經過阿拉伯文和希伯萊文，譯成拉丁文。在托萊多的其它文化進步中，人們還繪有一套早期的天文圖表，這是一部關於星辰位置的百科全書。這套圖表是按基督教風格繪製的，體現了這座城市和這個時代的特點，但數目字卻是阿拉伯式的，並且是至今仍然能夠被人們辨認出來的近代阿拉伯數字。 當時最著名的翻譯家和傑出的人物是克雷莫納（Cretnona）。的杰拉德（Gerard），他特意從意大利來到托萊多，查找托勒密的一部天文學著作《天文學大成》（Almagest），並留下來翻譯阿基米德、希波克拉底、蓋倫（Galen）和歐幾里得等人撰寫的希臘科學的經典著作。 但是，我個人認為，在其著作被翻譯成拉丁文的人當中，最為傑出的，而且從長遠來看最有影響的並不是一個希臘人。這是因為我對有關空間物體的認識頗感興趣。而這恰恰是希臘人完全弄錯了的一門學科。大約在公元1000年，這個問題首次被一位名叫海桑（Alhazen）的、性情古怪的數學家所認識，他是阿拉伯文化造就的一位真正富有獨創精神的科學家。希臘人曾認為光線是從人的雙眼投射到物體上的。海桑卻第一次認識到，我們之所以能夠看見一個物體，是因為這個物體的每一點把光線直射或者反射到我們眼中。希臘人的觀點無法解釋一個物體，比如說，我的手在移動時，它的大小似乎有所變化。按照海桑的說法，這顯然是因為，當我的手從你眼前向遠處移開時，我的手的輪廓和形狀所反射的光錐面變得越來越狹窄。而當我的手向你眼前移過來時，進入你眼中的光錐面越來越大，形成的夾角也更大。這種觀點，也只有這種觀點，才能解釋物體發生大小變化的原因。但是，令人吃驚的是，如此簡單明了的觀點，居然600年來一直沒有引起科學家們的注意。 （羅傑?培根（Roger Bacon）是一個例外）不過，藝術家們在此之前很久就已在實踐中註意到這一點了。關於從物體進入眼睛的光錐面的這種概念成為透視畫法的基礎。而透視的觀點又是使數學恢復勃勃生機的新思想。 15世紀時，在意大利北部城市，如佛羅倫薩和威尼斯，透視的觀點進入藝術創作領域，風靡一時。洛倫佐?吉貝爾蒂（LorenzoGhiberti)為羅馬梵蒂岡圖書館中的海桑的《光學》手稿譯文作了註釋，並且為佛羅倫薩的洗禮堂大門創作了著名的青銅透視畫。他並不是透視畫法的第一位先驅——第一位先驅可能是菲利普?布魯內榮斯基（FilippoBrunelleschi）。當時已有好些像他那樣的畫家，足以組戍一個透視畫派。這也是一個思想的流派，因為它的目的不僅僅是使畫中的人物栩栩如生，唯妙唯肖，而且要賦予畫中人物空間的動感。 只要我們將透視畫派的一幅作品與一幅更早時期的作品相對照，就不難看出這種動感。 卡爾帕喬（Carpaccio）描繪聖?烏爾蘇拉（St Ursula）離開霧靄迷茫的威尼斯港的繪畫作於1495年。正如這時人們的耳朵能從歐洲音樂的新和聲裡欣賞出另一種深度和立體感一樣，這幅畫的明顯效果是賦予視覺空間以一種第三維的感覺。不過，最主要的還不在它的深度，而在於它的動感。正如那新興的音樂，這幅畫和畫上的人物使人感到是活動的。總而言之，我們感到這位畫家的視線在不斷移動。 對照一下一幅佛羅倫薩的壁畫。它創作於公元1350年，比卡爾帕喬的畫要早100年多。這幅壁畫是從城牆外的某個角度來看這座城市，畫家幼稚地越過城牆和房頂看過去，在他的畫上那些建築像階梯一樣排列起來。但這並不是技巧問題，而是創作意圖問題。畫家並不想採用透視畫法，因為他認為自己是在按照事物本來的樣子，而不是按照它們看上去的樣子把它們記錄下來：這是一種上帝的眼光，一幅永恆真理的畫圖。 而透視畫家的意圖則不一樣。他有意識地讓我們拋開絕對和抽象的眼光。他讓我們不去過多地註意某一地點，而更多地著眼於某一瞬間：著眼於時間，而不是空間。所有這一切，是藉助於精確的、數學性質的手段實現的。一位德國藝術家仔細地記錄了這種畫法，他就是阿爾布雷希特?丟勒（Albrecht Durer），他於1506年來到意大利，學習“透視畫法的神秘藝術”。丟勒本人當然也著眼於刻劃稍縱即逝的一瞬，如果我們再現他描繪的情景，我們會看到這位藝術家選擇了一個富於戲劇性的時刻。他可能會圍著模特兒走幾步就停下來。或者，他會繼續走下去，在此後的某一時刻才把視線固定下來。但是，在他從正面觀察模特兒時，在這關鍵時刻，他的眼睛好似照相機快門，攝下他所看到的情形。透視並不是一種觀點；對藝術家來說，它是一種積極主動、連續不斷的創作行為。 在旱期透視畫法創作中，人們習慣於用一種觀測器和一種框格來捕捉視覺的瞬間所見。 這種觀測手段來自天文學，而人們當時用來繪畫的這種方格紙，今天成了數學運算的輔助用品。丟勒熱衷於描繪的自然界所有的細枝末節，都是時間的動態的表現：這頭公牛，這頭毛驢，聖母瑪麗亞臉上洋溢著的青春氣息。這幅畫題名為《東方賢人之愛》（The Adorationof the Magi)。來自東方的三位賢哲之士找到了他們的命運之星，這顆星辰宣告了時間的誕生。 丟勒在這幅畫的中央畫上的這只聖餐杯是用來教授透視畫法的一個樣板。例如，我們知道烏切洛（Uccello）對這只聖餐杯所作的分析；我們可以在電子計算機上像這位透視畫家那樣顯示這只聖餐杯的構圖。他的視線像一隻轉盤那樣追隨和探索杯子形狀的線條變換那種由圓向橢圓形的延伸，並且不斷捕捉那在空間逝去的瞬息時間。 分析一個物體不斷變化的運動，正如我可以在電子計算機上做的那樣，對希臘人和伊斯蘭教徒的頭腦來說，當時還相當陌生。他們總是尋求靜止不變的東西，或者尋求一種秩序井然、完美無缺的永恆境界。對他們來說，最完美的形狀是圓。圓周運動必定是平穩自如而又始終如一的，這就是天體的諧和。 這也說明托勒密的世界體係為什麼是由一些圓構成的，時間沿這些圓平穩地、始終如一地運行不息。但在現實世界中，各種運動並非一成不變。它們每時每刻都在改變方向和速度，一直到一種認為時間是一個變量的數學理論創立之後，人們才可能對這些運動進行分析。這對天體來說是一個理論問題，而在地球上，這卻又是一個非常實際而直接的問題——在一個拋射體的飛行中，在一種植物急速的生長中，在形狀和方向突然變化的一滴水珠的迸濺中，這的確是個很實際的問題。文藝復興時期的人們還沒有能夠使這稍縱即逝的畫面停止不動的技術裝備。但那時卻有一種高明的設備：畫家的心靈之窗，和數學家的邏輯推理。 於是，在1600年之後，約翰尼斯?開普勒（Johonnes Kepler）終於相信，行星的運行軌跡並不是圓的，也不是恆定不變的。行星的軌跡呈橢圓形，行星沿這種橢圓形軌跡以不同速度運行。這就意味著，靜止式的古老數學不再能滿足需要了，把運動看成恆定不變的那種數學也已過時。人們需要一門能給瞬時運動下定義並能計算這種運動的嶄新的數學。他們是艾薩克?牛頓（Issac NeWton）和哥特弗萊德?萊布尼茨（Gottfried WilhelmLeibniz），今天，這對我們來說，是如此熟悉，以致我們把時間看作是一種描述自然狀況的天然要素，但以前情況卻並非總是如此。正是牛頓和萊布尼茨提出了正切、加速度、斜率、無窮小、微分等等概念。有一個詞現在已被人們淡忘了，但是，用它來描述那曾經被牛頓好比用照相機訣門固定下來的時間的流動，是再恰當不過的了：這就是“流數” （Fluxions），它是牛頓（在萊布尼茨之後）給今天所謂微積分起的名字。如果僅僅把微積分看作一種更為先進的技術，這並沒有把握住它的真實內容。在微積分理論中，數學變成了一種能動的人類思維方式，這是人類在其上升歷程中智力發展的重要一步。說來也真是奇怪，使微積分理論行之有效的技術性概念竟是一種關於無窮小的概念，賦予無窮小這個概念精確嚴格的含義，使人類知識有了新的突破。不過，我們還是把這個技術性概念留給專家學者們去研究，我們就姑且把這種數學叫作變化的數學吧。 自從畢達哥拉斯宣稱數字是自然的語言以來，自然界的種種法則都一直是用數的關係來描述的。現在看來，這種自然的語言不能不包括那些描繪時間變化的數的關係。自然的法則成了運動的法則，而自然界本身，也成了一個不斷運動的過程，而不再是一系列靜止的結構形態。