第41章 第二節隙積術

等差級數問題在宋元時代發展為高階等差級數求和問題。這一課題的開創者是北宋大科學家沈括。沈括研究了《九章算術》的芻童等立體體積公式(見第四節)，認為已相當完備，但是，沒有求隙積的方法。隙積就是積之有隙者，如將一顆顆棋子、壇、罐等壘起來，如圖34，雖然有芻童的形狀，但因有刻缺空隙，若用芻童術求積，數值偏小。沈括便提出了隙積術。設隙積的上底寬a，長b，下底寬a，長b，高n層，且aabb=n-1，沈括提出的隙積術是：S=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+ab=n〔(2a+a)b+(2a+a)b+(aa)〕/6 即芻童狀隙積中物件的個數比芻童體積多n/6×(aa)。隙積術實際上是一個二階等差級數求和問題：

b(a+1)(b+1)+2)(b+2)+3)(b+3)+4)(b+4)… +b+1+b+3+b+5+b+7… 南宋楊輝《詳解九章算法》以各種菓子垛比類《九章》的立體。其中芻童形菓子垛與沈括的隙積術相同。四隅垛(比類方錐、陽馬)的求積公式為：S=1+2+3+…+n=n(n+1)(n+1/2)/3 方垛(比類方亭)的求積公式為：S=a+(a+1)+(a+2)+…+(b-1)+b=n〔a+b+ab+1/2(ba)〕/3 三角垛(比類鱉臑)的求積公式為：S=1+3+6+10+…+1/2n(n+1)=n(n+1)(n+2)/6 不難看出，這都是二階等差級數求和問題。同時，可以看出，在沈括的隙積術中令a=b=1，a=b=n，便是楊輝的四隅垛公式；令a=b，a=b，便是楊輝的方垛公式；令a=1，b=2，a=n，b=n+1，便成為兩個三角垛之和1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。

兩端除以2，便得到楊輝的三角垛公式。