第18章 第三節多面體體積

《九章》商功章提出了許多多面體體積的算法，並在實際中使用了長方體的體積公式V=abh，對此，劉徽把它看成不言自明而未試圖證明。 堤、溝、渠是水利設施，塹、城、垣是建築或防禦工事，其橫截面都是相等的梯形。設上、下廣是a、b，高(深)h，長l，《九章》提出的體積公式是V=1/2(a+b)hl。劉徽採用出入相補，將其變成寬1/2(a+b)，長l，高h的長方體證明之(圖3)。 塹堵是將長方體沿相對兩棱剖開所得的立體(圖4)，其體積顯然為V=1/2abh。沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，一部分是底面為長方形，一棱垂直於底面的四棱錐，稱為陽馬(圖5)，《九章》給出其體積公式V=(1/3)abh；一部分為四面都是勾股形的四面體，叫鱉臑〔nao鬧〕(圖6)，其體積V=(1/6)abh。在a=b=h的情況下，人們用六個鱉臑或三個陽馬可拚成一個正方體，上述兩個公式是顯然的，這是(同“祺”)驗法。而當a≠b≠h時，棊驗法無能為力，必須用無窮小分割方法才能證明上述公式。這是劉徽的重大貢獻，將在第十一節中介紹。

方錐的體積與陽馬相同(見圖7)。今之方台，古代稱為方亭。設上方邊長a，下方邊長b，高h(圖8)，《九章》給出的公式是V=(1/3)(a+b+ab)h。劉徽又給出等價的公式V=(1/3)(ba)h+abh。芻童是草垛，盤池是挖的水池，冥谷是挖的大墓穴，都是上、下底面為長方形的棱台體(圖9)。漢代帝王的陵墓都是芻童形。設上底為a×b，下底為a×b，高h，《九章》給出的體積公式是V=(1/6)［(2a+a)b+(2a+a)b］h。劉徽又提出兩個等價的公式V=(1/3)(aa)+(aa)h+1/2(ab+ab)h和V=(1/3)［ab+ab+1/2(ab+ab)］h。芻甍也是草垛，形狀像屋脊(圖10)。設底面為a×b，上長b，高h，《九章》給出其體積公式V=(1/6)(2b+b)ha。劉徽又給出等價的公式V=(1/3)(bb)ha+&frac2;bah。羨〔音yan，通埏〕除是墓道，它是一種三面為等腰梯形(其中兩面互相垂直)而兩側面為三角形的楔形體(圖11)。設其三廣為a、b、c，高h，長l。

《九章》給出其體積公式是V=(1/6)(a+b+c)hl。對這些立體的特殊情形，劉徽之前都用棊驗法，而對一般情形，棊驗法亦無能為力。劉徽將它們分解成有限個長方體、塹堵、陽馬、鱉臑，求其和而證明之。劉徽所補充的上述公式就是由此得出的。 顯然，複雜多面體體積的解決都要歸結到陽馬、鱉臑，正如劉徽所說：“不有鱉臑，無以審陽馬之數，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實之主也。”(《九章算術·商功章註》)中國古代的多面體體積理論，由《九章》提出公式，劉徽完成證明，可以說基本完備。祖沖之父子可能將其推進到隋唐數學家看不懂的地步，由於《綴術》失傳，其詳情不得而知。就現有資料看唐宋無大的突破。唐初王孝通解決土木工程中更複雜的體積計算問題，都是《九章》已經討論過的多面體或其組合。 《九章》的堤上下兩底平行，王孝通解決了一種上下底不平行的堤防，如圖12，它可以分解成一個堤與一個羨除，那麼，其體積就是兩者體積之和。金元治河著作《河防通議》給出其體積公式V=(1/6)［(2h+h)(a+b)/2+(2h+h)(a+b)/2］其中a為上底面廣，l為長，h、h分別為兩頭之高，b、b分別為兩頭下廣。

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註釋：