第16章 第四章面積與體積

長方形在古代叫方田，《九章》提出的面積公式是“廣從步數相乘得積步”。古代“廣”指東西的長度，“從〔zong縱〕”指南北的長度，則面積S=ab。劉徽對這一公式未證明，而是給出了面積定義：“凡廣從相乘謂之冪。”冪的涵義與今天指乘方不同。 三角形叫圭田，《九章》提出的面積算法是“半廣以乘正從”，廣即底，正從即高，公式為S=1/2ah。劉徽記載了以盈補虛的證明方法，將三角形拚補成長方形，如圖1所示。以盈補虛，又稱出入相補，是中國古代解決面積、體積、勾股等問題的主要方法之一。 直角梯形，《九章》稱之為邪田，其面積的計算公式是S=1/2(a+a)h，其中a、a、h是上、下底及高，也是拚補成長方形以證明其面積，如圖2所示。一般梯形叫箕田，它可分解成兩個邪田，其面積公式同上。

秦九韶的三斜求積術是已知三角形三邊求其面積的方法：今有一三角形田，小斜13裡，中斜14裡，大斜15裡，其面積的求法是：“以小斜冪並大斜冪，減中斜冪，餘半之，自乘於上。以小斜冪乘大斜冪，減上，餘，四約之，為實。一為從隅，開平方得積。”(《數書九章》卷五)這段話用現代符號寫出便是： 根號下的多項式分解因式便成為½(a+b+c)·1/2(a+bc)·1/2(c+ab)·1/2(b+ca)。可見三斜求積公式與古希臘海倫公式是等價的。秦九韶還用三斜求積術解決了四不等田的面積。