第47章 第十一章無窮小分割思想

對《九章算術》的圓面積公式S=1/2Lr，在劉徽之前是以周三徑一為基礎，將圓內接正6邊形周長作為圓周長，正12邊形面積作為圓面積，用出入相補原理證明的。劉徽指出，圓的周長與直徑“非週三徑一之率”(《九章算術·方田章註》)，這個證明是不嚴格的。劉徽創造了新的方法：他從圓內接正6邊形開始割圓，得到一個正6·2邊形序列。設Sn是6·2邊形面積，pn是每邊長，如圖35。 顯然，n愈大，S-Sn愈小，所謂“割之彌細，所失彌少。”(同上)而“割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。”(同上)即證明了L=lim6·2P。 6·2邊形每邊與圓周間有餘徑rn。以邊長乘餘徑，加到6·2邊形面積上，則大於圓面積，即S<S<S+2(SS)。

而當n無限大時，rn→0，那麼lim〔S+2(SS)〕=S 所謂“若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣”。這就證明了圓面積的上界序列與下界序列的極限都是圓面積：S=limS。然後，劉徽說：“以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半週乘半徑而為圓冪。”(《九章算術·方田章註》)即將與圓合體的邊數無限的正多邊形分割成無限多個以圓心為頂點，以該多邊形的每邊為底的小等腰三角形，由於以每邊長乘半徑是小三角形面積的二倍，而與圓合體的正多邊形的邊長之和是L，這就證明了S=1/2Lr。顯然，這裡包含了幾個相當嚴謹的極限過程，並且是通過對圓面積的無窮小分割，再求其和進行證明的。這種方法與微積分產生前的面積元素法極為接近。數學史家史密斯(DESmith，公元1860—？年)把微積分的發展概括為窮竭法、無窮小方法、流數法和極限四個階段。劉徽已完成了前兩個階段，並已有明顯的極限過程。