第39章 第三節四元術

四元術就是多元高次方程組解法，它實際上包括四元術表示法和四元消法兩部分內容。 四元術的表示方法是常數項居中，旁記一“太”字，天元冪係數居下，地元居左，人元居右，物元居上，其冪次由它們與“太”字的位置關係決定，不必記出天、地、人、物等字，距“太”字愈遠，冪次愈高，相鄰兩元冪次之積記入每行列的交叉處，不相鄰之元的冪次之積無相應位置，寄放在夾縫中，如圖33。一個籌式相當於現今的一個方程式，二元方程組列出兩個籌式，三元方程組列出三個籌式，四元方程組列出四個籌式。這是一種分離係數表示法，對列出高次方程組與消元都很方便。可惜由於平面只有上、下、左、右四個方向，最多只能列出四元，高出四元的方程組便無能為力。

四元術的核心是四元消法，即將四元四式消成三元三式，再消成二元二式，最後化成一元一式，即高次開方式。朱世傑《四元玉鑑》卷首的“假令細草”中列出了天元術、二元術、三元術和四元術的範例。謹將第3問“三才運元”的消法解釋如下。 草曰：立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦。三才相配求得今式 解：設x為勾a，y為股b，z為弦c，由已知條件列出x+y+z-xy(zy)=0或-xy+xyz-xyz=0(今式)。 同樣 -x+x+xz+yz=0(雲式)。 x+yz=0(三元式)。 以雲式減今式，以x除，並將y=zx，y=-x+x+xz-z代入，便得到前式：x+x-xz+xz-z+xz-2z-2=0

將y=-x+x+xz-z代入三元式，便得到後式：x-2x+2x-2xz+4xz-2z+xz-2z=0 並將人元擺到天元上。互隱通分相消，得到(-z+3z+7)x+(z-3z-7z-6)=0 為左式，(-2z+5z+11z+13)x+(2z-5z-15z-13z-14)=0 為右式。 以前式左行(-z+1)乘後式，(-z+1)x+(2z-2)x+(-z-3z+2z+2)x+(2z-2z)=0 以x乘前式，得(-z+1)x+(z+z+1)x+(-2z-z-2)x=0 兩者相消，得(zz-3)x+(-z-z+3z+4)x+(2z-2z)x=0 又以z乘前式(-z+z)x+(z+z+z)x+(-2z-z-2z)x=0

與之相消，得-3x+(4z+4)x+(-z-4z)=0 ［以前式左行(-z+1)乘此式，得(3z-3)x+(-4z+4)x+(z+3z-4z)=0 以3乘前式，得(-3x+3)x+(3z+3z+3)x+(-6z-3z-6)=0 兩者相消，得(-z+3x+7)x+(z-3z-7z-6)=0為左式。 以左式x的係數乘前式，得到(z-4z-4z+7)x+(-z+2z+9z+10z+7)x+(2z-5z-15z-13z-14)=0 以前式x的係數(-z+1)及x乘左式，得(z-4z-4z+7)x+(-z+4z+4z-z-6)x=0兩者相消為右式：(-2z+5z+11z+13)x+(2z-5z-15z-13z-14)=0］

內二行相乘得(z-3z-7z-6)(-2z+5z+11z+13)=-2z+11z+10z-43z-146z-157z-78 外二行相乘得(-z+3z+7)(2z-5z-15z-13z-14)=-2z+11z+14z-67z-130z-133z-98 兩者相減應為0 4z-24z+16z+24z-20=0 z-6z+4z+6z-5=0 z=5 問題是：“今有股弦較除弦和和與直積等。只雲勾弦較除弦較和與勾同，問弦幾何？”即已知(a+b+c)÷(cb)=ab，(-a+b+c)÷(ca)=a，及勾股定理a+b=c，求c。其解法是：(見第133—135頁) 由於朱世傑的文字過於簡括，“互隱通分相消”所引用羅士琳細草，只是提供一個大體說明消元過程的例子。至於是否符合朱氏原意，不得而知。事實上，許多學者有不同的細草。