在第五節，我們已經看到了劉徽怎樣從實際問題中抽像出二次方程的。唐王孝通列出了更複雜的方程。如《緝古算經》第15問，已知勾股相乘冪ab=706(1/50)，弦多於勾ca=36(9/10)，求勾a、股b、弦c。他的術文是關於勾a的開方式：a+1/2(ca)a=1/2(ab)/(ca)。自註的列開方式的思路是：
(ab)=ab，
1/2(ab)/(ca)=1/2ab/(ca)=1/2a(ca)/(ca)=1/2a(c+a)=a［a+1/2(ca)］=a+1/2(ca)a
但是，怎樣想到由1/2(ab)/(ca)開始變換，是個十分技巧的問題。不過，從劉徽到王孝通，其共同的方法是將兩數相乘看成面積，三數相乘看成體積，通過出入相補原理解決。這種方法在宋朝發展為演段法，它實際上是通過等積變換列出方程的方法。在這裡，未知量與已知量一樣投入圖形變換和數量運算。問題在於，對未知數沒有統一的符號，顯得繁瑣。天元術以一個符號“天元一”表示未知數，通過天元多項式的運算相消，列出開方式，開方式造術有了規範的程序。
由於史料散佚，天元術的早期發展情況尚不清楚。祖頤在《四元玉鑑·後序》中談到了天元術的發展概況。他說：“平陽(今山西臨汾)蔣週撰《益古》，博陸(今河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(今河北獲鹿縣)石信道撰《鈐經》，平水(今臨汾)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳(今山西新絳縣)人元裕細草之，後人始知有天元也。”就是說，天元術通過從蔣周到元裕一系列數學家的不斷努力，才完善起來。可惜這些著作除《益古》的部分題目保存在李冶的《益古演段》中外，其餘已蕩然無存。這裡未提到李冶，其中元裕是不是李冶至友元好問，學術界亦未有定論。無論如何，李冶時代，天元術已是北方金元數學家的共同財富，《測圓海鏡》、《益古演段》只是目前傳世的使用天元術的最早的著作。李冶的筆記中對天元術的發展情況則談得更為詳細。他年輕時在東平縣看到一算經，以人表示常數項，居中，仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天表示未知數的9、8……、1次冪，居人之上，地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼表示未知數的-1、-2……8、-9次冪，居人之下。後來他看到的天元術著作取消了表示各冪次的漢字，而以天元表示正冪，在上，地元表示負冪，在下，其冪次按位置值表示，在上距天元愈遠，冪次愈高，在下距地元愈遠，冪次愈低。太原彭澤、彥材作了重大改革，他們交換天元、地元的位置，採取天元在下，地元在上的方式。我們知道，開方圖式中常數項在上，之下依次排列未知數的一次、二次……冪，彥材的改革使天元術表示法與開方圖式一致，簡便得多了。李冶《測圓海鏡》表明，洞淵已經有了立天元一的明確步驟。李冶對天元術的重大貢獻在於，他取消了表示負冪的地元，只用一個“元”字表示未知數的一次冪，或用“太”表示常數項，其他冪次皆按位置值給出，進一步簡化了天元術的表示和運算。他在《測圓海鏡》中仍取正冪在上，負冪在下的方式，在《益古演段》中則顛倒過來，正冪在下，負冪在上，後來的數學家都採取這種方式。
人們把天元術與方程術結合起來，便創造了二元術、三元術與四元術，即二元、三元、四元聯立高次方程組的解法。祖頤在敘述了天元術的歷史之後，接著寫道：“平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元，霍山(今霍縣)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》，末僅有人元二問。吾友燕山朱漢卿先生演數有年，探三才之賾，索《九章》之隱，按天、地、人、物立成四元。”(《四元玉鑑·後序》)李德載、劉大鑒的著作亦失傳。不過此處地元不再表示負冪，而是與天元並列的另一未知數。三元術則以天、地、人為未知數，四元術以天、地、人、物為未知數。