自一九○○直到一九一○這些年，懷特海和我把我們大部分的時間都用於後來所成的《數學原理》。雖然這部著作的第三捲到一九一三年才出版，我們在這部書裡的任務（除去校對）是在一九一○年完成的，我們在那一年把全部稿子交給了劍橋大學出版社。
我在一九○二年五月二十三日寫完的《數學的原理》結果變成了其後那部著作的一個粗糙、很不成熟的草稿。可是，《數學的原理》和《數學原理》不同之點是，《數學的原理》是包含著和別的一些數學哲理的爭論。
我們所想解決的問題有兩種：哲學的與數學的。大致說來，懷特海把哲學問題留給我。至於數學問題，記號法大部分是懷特海創制的，（引用皮亞諾者除外）。關於級數大部分的工作是我做的，其餘是懷特海做的。但是這只是指初稿。每一部分都是弄過三次。我們兩個人不管是誰擬出一個初稿的時候，他就把這個初稿送交另一個人，這一個人通常是把它大加修改。然後，原來擬初稿的人再把它最後定稿。這三卷書幾乎沒有一行不是合作的成品。
《數學原理》的主要目的是說明整個純粹數學是從純乎是邏輯的前提推出來的，並且只使用以邏輯術語說明的概念。這當然和康德的學說正是相反。一開始我以為這部書是用以駁斥“那個強詞奪理的庸人”的一個插話，這個對康德的稱呼是佐治?坎特說的。
坎特為表示得更明確一點，又說：“他不大懂得數學”。但是後來這部書向兩個不同的方向發展了。在數學方面，整個新的題目出現了，包含新的記號法在內，有了這種新的記號法，就可以把從前用散漫粗疏的普通語言所對待的事物，用符號來處理。在哲學方面，有兩種相反的發展，一種是愉快的，一種是不愉快的。愉快的是，所需要的那套邏輯機構結果是比我所想像的要小。特別是，結果知道類是不必要的了。在《數學的原理》裡有許多是討論一的類和多的類二者之間的區別。關於這一點的全部討論，以及那本書裡很多複雜的論證，證明是不必要的。結果是，那本書寫成後好像是缺乏高深的哲理，難解是高深的最明顯的特點。
那個不愉快的方面確實是很不愉快的。自亞里士多德以來，無論哪一學派的邏輯學家，從他們所公認的前提似乎可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病，但是指不出糾正的方法是什麼。在一九○一年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。我把這件倒運的事告訴了懷特海，他引了一句話：“愉快自信的清晨不再來”，我卻不能得到安慰。
坎特證明沒有最大的基數。我是把坎特的這個證明細想了一番之後，發現了上述的那個矛盾的。我腦筋簡單，以為世界上所有的事物的數目一定是可能有的最大數目了。
我把他的證明用於這個數目，看一看怎麼樣。這個辦法使我考慮一個特殊的類。我順著以前看起來好像是適當的路線去思索，我覺得一個類有時候是，有時候又不是它自己的一個項。舉例來說，匙子這個類不是另一個匙子。但是，不是匙子的那些事物的這個類卻是不是匙子的那些事物之一。似乎有些例子不是負的：例如，所有類這個類是一個類。
把坎特的論證加以應用，使我考慮不是自己的項的那些類。好像這些類一定成一類。我問我自己，這一個類是不是它自己的一項。如果它是它自己的一項，它一定具有這個類的分明的特性，這個特性就不是這個類的一項。如果這個類不是它自己的一項，它就一定不具有這個類的分明的特性，所以就一定是它自己的一項。這樣說來，二者之中無論那一個，都走到它相反的方面，於是就有了矛盾。
最初我以為在我的推理的里面必是有怎麼一種小小的錯誤。在一種邏輯的顯微鏡下我檢查了每一步，可是我發現不出有什麼不對來。我給弗雷格寫了一封信，把這件事告訴了他。他回答說，算術發生了動搖，他並且說，他看出他的第五個定律是不能成立的。
這個矛盾使弗雷格十分煩惱，他放棄了從邏輯演繹出算術的企圖，直到那個時候為止，他本是一生致力於此的。就像遇到無理數的畢達哥拉斯的門徒們一樣，弗雷格逃到幾何學裡去了，顯然他以為直到那個時候，他一生的事業是走錯了路。至於我呢，我覺得毛病是在邏輯，而不在數學，邏輯非加以改造不可。由於發現了一個秘訣，我的這個意見得到了證實，用這個秘訣可以製造出簡直是無限數目的矛盾來。
對於這個情形，哲學家和數學家們有各種不同的反應。班格萊是不喜歡數理邏輯的，他曾非難數理邏輯，以為它是不能有結果的。他高興地說：“它不是不能有結果的了，它產生了矛盾。”這話的確是很好，但是並不能解決問題。一些別的不贊成佐治?坎特的數學家採取三月兔的解決辦法：“這個我膩煩了，我們還是換個題目罷”。我覺得這也不妥當。但是後來有些人認真想解決這個問題，那些人懂得數理邏輯，並且知道確有用邏輯解決的必要。其中第一個人是F． Ｐ．萊穆塞。
不幸他死得早，沒有完成他的工作。但是在《數學原理》出版以前的那些年，我不曉得後來對解決這個問題所做的努力。
我實際上是獨自在那里納悶。
有一些更老的悖論（其中有一些是為希臘人所知道的）我覺得引起了類似的問題，雖然我以後的一些作者認為這些悖論是另外的一種。其中最著名的是那個關於克利特人艾皮米尼地斯的悖論。他說所有的克利特人都是說謊的人。這就使人問，他說這話，他是不是不說謊。如果一個人說：“我是說謊呢”，這就是這個悖論所表現的最簡單的形式。如果他是說謊，那麼他是說謊就是一個謊，因此他就是說實話；但是如果他是說實話，他就是說謊，因為那是他說他正在做的事。這樣，矛盾就是不能避免的。聖保羅曾經提到過這個悖論①。可是他對於這個悖論的邏輯方面並沒有興趣。他所感興趣的是，這個悖論證明異教徒是壞的。但是數學家們可以把這些難以索解的問題打發開，以為是和他們的科目毫無關係，雖然他們不能把是否有一個最大的基數或最大的序數這些問題置之於不顧，這兩個問題都使他們陷入矛盾。關於最大序數的矛盾是在我發現我的矛盾之前被布拉力福爾提發現的。但是他的這件事是複雜得多，因此我也就以為在推理上是有些小小的錯誤。無論如何，因為他的矛盾遠不像我的矛盾那麼簡單，乍一看來好像摧毀的力量不是那麼大。可是，結果我不得不承認其嚴重是一樣的。
在《數學的原理》裡我並沒有公然說我已經找到了一個解決的方法。我在那本書的序言裡說：“發表一本包含那麼許多未曾解決的爭論的書，我的解釋是，經過研究，在第十章中所討論的矛盾，我看不出最近有得到適當解決的希望，對於類的性質最近也沒有希望看得更深更透。有些解決的辦法曾使我得到一時的滿足。後來常常發現這些解決的辦法是有錯誤的。這種發現使人覺得，好像是較長時間的思索也許可以得出一些表面看來是滿意的學說，有了這些學說，問題就顯露不出來了。因為這個道理，只把困難說出來，比等下去一直到我相信一個幾乎一定是錯誤的學說中有真理，好像是要更好一點。”
在討論矛盾的那一章之末我說：“上面所說的矛盾不包含特殊的哲學。這種矛盾是直接起源於常識。這種矛盾唯一解決的辦法是放棄某種常識的假定。只有以矛盾為滋養的黑格爾哲學才能不關心，因為它處處遇到與此類似的問題。在任何別的學說裡，這樣一個正面的挑戰要求你做出一個答覆，否則就是自己承認沒有辦法。幸而，就我所知，在《數學的原理》的任何別的部分，沒有別的與此類似的困難出現。”在書後的附錄裡我提出類型說可以給予一個言之成理的解釋。最後我深信這個學說會解決這個問題，但是在我從事寫作《數學的原理》的時候，我只把這個學說弄得粗具規模。
這個學說在此情形之下是不能勝任的。我在那個時候所得到的結論表現在這本書的最後一段裡：“總括起來說，看來第十章的那個特別的矛盾是被類型說解決了。只是，至少有一種很類似的矛盾大概是不能用這種學說解決的。看來所有邏輯的對像或所有命題，全體包含一種基本的邏輯上的困難。這種困難的完滿解決是什麼，我還沒有發現到；但是因為它影響推理的基礎，我懇切盼望所有治邏輯學的人對它加意研究。”
《數學的原理》寫完之後，我準備決意對於這些悖論找到一個解決。我覺得這幾乎是對我個人的一個挑戰，而且，如果勢不得已，我就要花掉我整個的餘年來應戰。但是有兩個理由我以為這是極其不愉快的。第一，我覺得這整個問題是無足重輕的。我極不願意把注意力集中在一件並不見得實在是有趣的事情上。第二，恁其我怎麼努力，我沒有進展。一九○三年和一九○四年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。我第一個成就是一九○五年春季的敘述學說。這個學說我將在下文談到。
在表面上看，這是和這些矛盾沒有關係的，但是後來一種沒有想到的關係出現了。最後，我看得十分清楚，類型說的某種形式是極關緊要的。我現在不著重來講在《數學原理》裡講到的那個學說的特殊形式。但是我仍全然深信，沒有這個學說的某種形式，這些悖論就無法解決。
正當我在尋求一個解決辦法的時候，我覺得如果這個解決完全令人滿意，那就必須有三個條件。其中的第一個是絕對必要的，那就是，這些矛盾必須消失。第二個條件最好具備，雖然在邏輯上不是非此不可，那就是，這個解決應該盡可能使數學原樣不動。
第三個條件不容易說得正確，那就是，這個解決仔細想來應該投合一種東西，我們姑名之為“邏輯的常識”，那就是說，它最終應該像是我們一直所期待的。在這三個條件之中，第一個當然是大家所公認的。可是第二個是為一個很大的學派所否認的，他們認為分析的很大一部分是不正確的。那些以善用邏輯而自滿的人以為第三個條件是不重要的。
舉例來說，奎尹教授曾製作出一些體係來。我很佩服這些體系的巧妙，但是我無法認為這些體系能夠令人滿意，因為這些體係好象專是為此創造出來的，就是一個最巧妙的邏輯學家，如果他不曾知道這些矛盾，也是想不到這些體系的。但是，關於這一個問題已經出現了大量而且很深奧的文獻，其細微的地方我就不再多說了。
撇開困難的專門細節不談，我們可以把類型說的梗概說一說。也許研究這個學說的最好的辦法是考查一個“類”的意義是什麼。我們先用一個平凡的例子來說明。假定飯後請你吃飯的主人在三種甜食裡面請你挑選，要你吃一種或兩種，或三種都吃，隨你的意。你可以有多少辦法呢？你可以都謝絕。這是一種辦法。你可以在甜食之中取一種。
這有三種不同的可能的辦法，所以你又有三種選擇。你可以選得甜食之中的兩種。這又可能有三種辦法。或者三種甜食你都要。這給你一個最後的可能性。這樣說來，可能性的總數是八，也就是２３。不難把這個程序歸納成通則。假定在你面前有ｎ那麼多的東西，你想知道在ｎ之中一個不選，或選幾個，或者都要，一共有多少選擇。你就要知道，辦法的數目是２n。用邏輯的語言來說：一個有ｎ項的類有２n那麼多的次一級的類。如果ｎ是無限的，這一個命題仍然是正確的。坎特所證明的是，即使在這一個例子中，２n是大於ｎ。如果像我那樣把這個應用於宇宙中的一切事物，我們就得到這樣一個結論：事物的類是多於事物。因此類就不是“事物”。但是，因為沒人十分懂得這句話裡“事物”這個字是什麼意思，把我們所已經證明出來的東西很確切地說出來是不很容易的。
我所不能不得出來的結論是：類不過是說話時的一種方便而已。在我寫作《數學的原理》的時候，關於類這個問題我已經有些覺得沒有辦法。可是，我那時候表達意思所用的語言，我現在想來，是不應該那麼有實在論的色彩的（實在論是取經院哲學上的意義）。
我在那本書的序文中曾這樣說：“討論難以界說的東西（佔哲學邏輯的主要部分）是想法子把這些實體看得清楚，也是使別人看明白這些實體，這樣，我們的心理也許對於這些實體有一種認識，和認識紅的顏色或菠蘿的味道一樣。凡我們獲得難以界說的東西主要是在分析過程中必然留有殘餘的時候（現在所說的例子就是如此），知道一定有這樣的實體往往比實際上覺察到這些實體要容易一些；有一種過程，這種過程和發現海王星的過程相類似，只是有一個不同之點，就是，用精神的望遠鏡來尋求那個已經推論出來的實體，這個最後的階段往往是從事這件事情最困難的部分。關於類這個例子，我不得不坦白地說，我沒有看出有任何概念可以滿足類這個概念的必要條件。在第十章中所討論的矛盾，證明有些東西不大對，但是，這究竟是什麼我一直看不出來。”
我現在對於這件事的說法應該有些不同了。我應該說，假定有任何命題函數，比如說fx，那麼x的值就有一個相當的範圍，就這個值的範圍來說，這個函數是“有意義的”，也就是說，不是真就是偽。如果ａ是在這個範圍之中，fa就是一個命題，這個命題不是真就是偽。除了用一個常數代替x這個變數以外，關於一個命題函數，還有兩件事可做：一件是說它永遠是真；另一件是說它有時是真。 “如果x是人，x就不免於死”這一個命題函數永遠是真；“x是人”這一個命題函數有時是真。所以關於一個命題函數有三件事情可做：第一是用一個常數來代替變數；第二是對於這個函數的一切值加以斷定；第三是對於一些值，或者至少一個值，加以斷定。
命題函數本身只是一個式子而已。它並不對於什麼加以斷定或否定。同樣，一個類不過是一個式子而已。它只是談使這個函數為真的變數的那些值的一種方便方法而已。
關於上面所說解決這個問題所需要的三個必要條件之中的第三個條件，我曾提出來一個學說，這個學說好像是不合別的那些邏輯學家的意的。可是在我看來，這個學說仍然是正確的。這個學說可以述之如下：當我對於一個fx函數的一切值加以斷定的時候，我斷定的若要明確，x所能採取的值就必須是明確的。那就是說，x所可能有的值必須有一個總體。
如果我現在進而創立以那個總體來說明的新的值，這個總體好像就因此擴大了，而且與它有關的新的值也就因此和那個擴大了的總體有了關係。但是，因為新的值不能不包括在這個總體之中，這個總體就永遠追不上這些新的值，這個過程就好像你想要跳到你的頭的影子上。我們用那個關於說謊的人的悖論最能簡單地對於這一點加以說明。那個說謊的人說：“不論我說什麼都是假的”。事實上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。我們不能不把涉及命題總體的命題和不涉及命題總體的命題加以區分。那些涉及命題總體的命題決不能是那個總體之中的份子。第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其餘倣此，以至無窮。所以我們那位說謊的人現在就不能不說：“現在就是肯定一個第一級的偽命題，這是偽的。”但這本身是一個第二級的命題。
所以他不是說出任何第一級的命題。因此他所說的簡直就是偽的，說它也是真的這種議論不攻自破。這種論證完全可以用於任何高一級的命題。
我們可以發見，在一切邏輯的悖論裡都有一種反身的自指，這種反身自指應該根據同樣的理由加以指斥。那就是說，它包含講那個總體的某種東西（這種東西又是總體中的一份子）。如果這個總體已經固定了，這種東西才有明確的意義。
我不能不坦白地說，這個學說還沒有獲得廣泛的承認。但是我還沒有見到能使我信服的反對這個學說的論證。
前面曾經提過的敘述學說是在發表於一九○五年《心》學報的我的一篇文章《論指示》中第一次提出的。那時的那位編輯人覺得這個學說很不合理，他請我重加考慮，不要要求照原樣發表。但是，我相信這個學說是正確的，我拒絕讓步。
這個學說後來得到普遍的承認，大家以為這是我對於邏輯最重要的貢獻。的確，現在那些不相信名稱和別的字之間是有區別的人對於這個學說是有一種反應。但是我認為只有在那些沒有弄過數理邏輯的人之中才有這種反應。總而言之，我在他們的批評裡看不出任何正確性來。可是我承認，也許名稱學說要比我有一個時期所想的稍微難一點。
可是我暫時把這些困難擱下不管，來講一講普通所用的日常語言。
我曾取“斯考特”這個名稱和“《威弗雷》的作者”這個敘述之間的對比來作我的論證之用。 “斯考特是《威弗雷》的作者”這個命題是表示一個同一性，不表示一個同義反复。
佐治第四想知道斯考特是不是《威弗雷》的作者，可是他並不想知道斯考特是不是斯考特。雖然這使每一個未曾研究過邏輯的人都能了解，對於邏輯學家卻是一個謎。邏輯學家們認為（也可以說從前認為），如果兩種措辭是指一種東西，包含其一措辭的一個命題就永遠可以被包含另一種措辭的一個命題所代替，而不失其為真，如果原來那個命題是真，或不失其為偽，如果原來那個命題是偽。但是，我們已經說過，用“斯考特”
代替了“《威弗雷》的作者”之後，你可以把一個真命題變成一個偽命題。這表明不能不把一個名稱和一個敘述加以區別：“斯考特”是一個名稱，可是“《威弗雷》的作者”
就是一個敘述。
名稱與敘述之間另外一種重要的分別是，如果一個名稱沒有所指，它在一個命題裡就沒有意義，而一個敘述卻不受這種限制。我對麥農的工作原是表很大的敬意的，他卻看不出這種區別來。他曾經指出，我們可以提出一些命題來，其邏輯的主辭是“金山”，雖則金山並不存在。他的持論是，如果你說金山並不存在，顯然你所說的有一種東西是不存在的，也就是說，金山：所以金山一定是存在於柏拉圖哲學裡某種渺茫的有的世界之中，因為，若不是如此，你的那個金山不存在的命題就是沒有意義的。我老實說，在我想出敘述學說以前，我覺得麥農這種論證是令人信服的。這個學說的要點是，雖然“金山”在文法上可以是一個有意義的命題的主辭，這樣一個命題，如果正確地分析了以後，就沒有這樣一個主辭了。 “金山不存在”這個命題就變成了“就x的一切值來說，'x是金的而且是一座山'這個命題函項是偽的”。 “斯考特是《威弗雷》的作者”這個命題變成了“就x的一切值來說，'x寫了《威弗雷》'等於'x是斯考特'。”在這裡，“《威弗雷》的作者”的字樣就不再出現了。
這個學說還弄明白了“存在”是什麼意思。 “《威弗雷》的作者存在”意思是說“有一個ｃ的值，就這一個值來說，ｘ寫了《威弗雷》'永遠等於'x是ｃ'這一個命題函項是真的。”
從這個意義來說，存在只能用來說一個敘述，而且，經過了分析之後，就可以見出是一個命題函項的例子，至少就變項的一個值來說是真的。我們可以說“《威弗雷》的作者存在”，我們也可以說“斯考特是《威弗雷》的作者”，但是“斯考特存在”是不正確的說法。這種說法最多能解釋為有這種意思：“名叫斯考特的那個人存在”，但是“名叫斯考特的那個人”是一個敘述，不是一個名稱。凡是把一個名稱適當地當做一個名稱用的時候，說“它存在”是不正確的。
敘述學說的主要之點是，一個短語對於一句話的意思可以有所貢獻，若是單獨用的時候就完全不具有任何意義。就敘述來說，關於這一點有精確的證明：如果“《威弗雷》的作者”是指“斯考特”以外的什麼東西，“斯考特是《威弗雷》的作者”就是偽的，實際上這個命題並不偽。如果“《威弗雷》的作者”是指斯考特，“斯考特是《威弗雷》的作者”就是同義反复，而實際上並非如此。所以，“《威弗雷》的作者”既不指“斯考特”，也不指什麼別的東西。那就是說，“《威弗雷》的作者”什麼也不指。證訖。